人教版高中数学选修11课件章末高效整合3

数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估知能整合提升数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估一、变化率与导数1．函数的变化率(1)相关概念定义实例作用平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度：②曲线割线的斜率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估定义实例作用瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx趋近于0时的极限，即limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率刻画函数值在x0点附近变化的快慢数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)有关说明①瞬时变化率是平均变化率的极限．②函数变化率的绝对值的大小说明了函数增减的快慢：绝对值越大，函数增减得越快；从图象上看表现为曲线的陡缓程度：绝对值越大，图象越陡．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估3．函数y＝f(x)的导函数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估二、导数的计算1．基本初等函数的导数公式(1)C′＝0(C为常数)；(2)(xα)′＝αxα－1(α∈Q*)；(3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(5)(ax)′＝axlna(a0)；(6)(ex)′＝ex；(7)(logax)′＝1xlna(a0且a≠1)；(8)(lnx)′＝1x.数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．导数运算法则(1)法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)；③fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)关于导数运算法则的几点认识①牢记公式的形式[f(x)·g(x)]′≠f′(x)g′(x)，fxgx′≠f′xg′x(g(x)≠0)，避免与[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)混淆．②若C为常数，则[C·f(x)]′＝C·f′(x)．③类比[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)记忆fxgx′＝f′x·gx－fx·g′x[gx]2(g(x)≠0)．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估三、函数的单调性与导数1．导数与函数单调性的定义函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，若f′(x)0，则y＝f(x)在这个区间内单调递增；若f′(x)0，则y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．讨论函数单调性应注意的问题(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．(4)注意在某一区间内f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．例如，f(x)＝x3.数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．(7)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)0，则f(x)在该区间上仍为增函数．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估四、函数的极值、最值与导数1．可导函数的极值(1)定义设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点x都有f(x0)f(x)(或f(x0)f(x))，则称f(x0)为函数的一个极大(小)值，称x0为极大(小)值点．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)极值中的几个注意问题可导函数的极值点一定是其导数为0的点；反之，导数为0的点不一定是该函数的极值点，所以导数为0的点是该点为极值点的必要条件，其充分条件还需要再添加“该点两侧的导数异号”．举例如下：①导数为0的点是极值点：f(x)＝x2，f′(0)＝0，x＝0是极小值点；②导数为0的点不是极值点：f(x)＝x3，f′(0)＝0，x＝0不是极值点．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．函数的最大值与最小值设y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内可导，则函数y＝f(x)在[a，b]上一定有最大值与最小值；但在开区间内不一定有最大值与最小值，如函数f(x)＝1x在(0，＋∞)内连续，但没有最大值与最小值．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估五、生活中的优化问题举例1．导数在实际生活中的应用主要有以下几个方面(1)与几何有关的最值问题(面积和体积等的最值)；(2)与物理学有关的最值问题(功和功率等的最值)；(3)与利润及其成本有关的最值问题；(4)效率最值问题．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．解决优化问题的一般思路数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，做出正确的判断，确定其答案．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估热点考点例析数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估导数的几何意义的应用【点拨】利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．常见类型有两种：一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”；这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)(1)又y1＝f(x1)(2)由(1)，(2)求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．[思维点击]对函数求导――――→导数的几何意义求出切线的斜率――――→直线的点斜式写出切线方程数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估[规范解答](1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估方法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估1．如例1，函数不变，如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估解析：∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1，y0＝－14或x0＝－1，y0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估【点拨】导数与函数的单调性相结合的常见问题：(1)判断单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知单调性，求参数的值．特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能用“∪”连接．(2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．利用导数研究函数单调性数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．[思维点击]利用导数求解，注意(1)(2)两问求解的区别．[规范解答](1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.当f′(x)0时，(－x2＋2)ex0，注意到ex0，所以－x2＋20，解得－2x2.所以，函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．数学选修1-1第三章导数及其应用知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立．又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex0，