人教版高中数学选修11课件第2章圆锥曲线与方程2122

数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第2课时椭圆方程及性质的应用数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质．2．掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法，能利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]我们知道直线与圆的位置关系有相离，相切、相交，当直线与圆没有公共点时相离，当直线与圆有一个公共点时相切，当直线与圆有两个公共点时相交，那么直线与椭圆的位置关系有哪些？[提示1]相离、相切、相交．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题2]由直线方程与圆的方程联立消去y得到关于x的方程．当Δ＝0时，直线与圆相切，当Δ0时，直线与圆相交，当Δ0时，直线与圆相离．那么能否利用同样的方法判断直线与椭圆的位置关系呢？[提示2]能．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升点与椭圆、直线与椭圆的位置关系1．点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消y得一个一元二次方程位置关系解的个数Δ的取值相交___解Δ___0相切___解Δ___0相离___解Δ___0两一无＝数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与椭圆位置关系及判定方法的理解(1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数法而不使用几何法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程，由于该一元二次方程有无实数解，有几个与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ0、Δ＝0还是Δ0即可作出判断．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：4m2＋9n2＝1，则点(－2,3)，点(－2，－3)，点(2，－3)在椭圆上，故选D.答案：D数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．直线x＋2y＝m与椭圆x24＋y2＝1只有一个交点，则m的值为()A．22B．±2C．±22D．±2数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由x＋2y＝m，x2＋4y2＝4，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±22.答案：C数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A，B两点，则弦长|AB|＝________.解析：椭圆的左焦点为(－2，0)，直线AB的方程为y＝33(x＋2)，将其代入椭圆方程整理得5x2＋42x－8＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝－425，x1x2＝－85.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升根据弦长公式得|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋332－4252－4－85＝165.答案：165数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，求m的取值范围．解析：由y＝kx＋1，x25＋y2m＝1，消去y，整理得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)．∵直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0对任意k∈R都成立．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∵m0，∴5k2≥1－m恒成立，∴1－m≤0，即m≥1.又∵椭圆的焦点在x轴上，∴0m5，∴1≤m5.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与椭圆的位置关系问题已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．[思路点拨]有公共点――→转化方程组有解――→消元方程有解――→转化判别式非负―→结果数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由4x2＋y2＝1，y＝x＋m，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0.解得－52≤m≤52.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ0.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得x22＋(kx＋2)2＝1.整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－20，解得k－22或k22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升中点弦问题过椭圆x216＋y24＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A，B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．[思路点拨]由于弦所在直线过定点P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝82k2－k4k2＋1.∵P为弦AB的中点，∴2＝x1＋x22＝42k2－k4k2＋1，解得k＝－12.∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又∵A，B在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－12，即kAB＝－12.∴所求直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升关于中点弦问题，一般采用两种方法解决(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．(2)利用“点差法”，即若椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升①－②得a2(y21－y22)＋b2(x21－x22)＝0，∴y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·xy.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知中心在原点，一个焦点为F(0，50)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．解析：设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，c2＝a2－b2＝50，①由y2a2＋x2b2＝1及y＝3x－2得数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，x1＋x2＝12b2a2＋9b2，由已知x1＋x22＝12，即12b2a2＋9b2＝1，所以a2＝3b2.②由①②得a2＝75，b2＝25，所以椭圆的方程为y275＋x225＝1.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升弦长问题已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，若|AB|＝425，求直线l的倾斜角．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨](1)建立关于a，b的方程组求出a，b即可．(2)设出直线方程y＝k(x＋2)，联立方程组，消元整理成关于x的一元二次方程，由根与系数的关系以及弦长问题求解．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)由e＝ca＝32，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.2分由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.3分解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1.4分所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.5分数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由(1)可知点A的坐标是(－2,0)．设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y＝k(x＋2).6分于是A，B两点的坐标满足方程组y＝kx＋2，x24＋y2＝1.消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.8分数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究