人教版高中数学选修11课件第3章导数及其应用3112

数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第三章导数及其应用数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．3．会利用导数定义求函数在某一点处的导数．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？[提示]山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝ΔyΔx＝10－050－0＝15，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝ΔyΔx＝15－1070－50＝14，∴hBChAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函数的变化率定义实例作用平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________.简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率刻画函数值在区间_______上变化的快慢fx2－fx1x2－x1(x1，x2)数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升定义实例作用瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝______________________①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率刻画函数值在_______附近变化的快慢limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δxx＝x0数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升关于函数的平均变化率，应注意以下几点：(1)函数f(x)在x1处有定义．(2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)在公式ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx中，当x1取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔyΔx＝0.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的_____变化率称为函数y＝f(x)在________处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝____________________.瞬时x＝x0limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对函数在某点处导数的认识(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．(3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知函数y＝2x，当x由2变为1.5时，函数的增量Δy＝()A．1B．13C．2D．32解析：Δy＝21.5－22＝13.答案：B数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．若函数f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx的值为()A．4B．4xC．4＋2Δx2D．4＋2Δx解析：ΔyΔx＝21＋Δx2－2×12Δx＝4＋2Δx.答案：D数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为________．解析：物体运动在1.2s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案：－4.8m/s数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．解析：∵Δy＝1x＋Δx2＋2－1x2＋2＝－2xΔx－Δx2x＋Δx2·x2，∴ΔyΔx＝－2x－Δxx＋Δx2·x2，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－2x－Δxx＋Δx2·x2＝－2x3，∴y′|x＝1＝－2.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求平均变化率(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为：①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？[思路点拨]直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝Δx2＋2Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋2ΔxΔx＝Δx＋2.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝Δx＋2＝4；②当Δx＝1时，ΔyΔx＝Δx＋2＝3；数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升③当Δx＝0.1时，ΔyΔx＝Δx＋2＝2.1；④当Δx＝0.01时，ΔyΔx＝Δx＋2＝2.01.(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求平均变化率的步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.(3)求平均变化率ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在函数y＝2x2＋1中，分别求函数在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？解析：ΔyΔx＝2x0＋Δx2＋1－2x20＋1Δx＝4x0＋2Δx当x0＝1，Δx＝14时，函数在[1,1.25]上的平均变化率为k1＝4×1＋2×14＝4.5.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当x0＝2，Δx＝14时，函数在[2,2.25]上的平均变化率为k2＝4×2＋2×14＝8.5.当x0＝3，Δx＝14时，函数在[3,3.25]上的平均变化率为k3＝4×3＋2×14＝12.5.∵k1k2k3，∴函数在x＝3附近的平均变化率最大．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数在某点处的导数求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[思路点拨]思路一：求Δy―→求ΔyΔx―→求limΔx→0ΔyΔx思路二：求fx―→求f数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：方法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：f′(x)＝limΔx→02x＋Δx2＋4x＋Δx－2x2＋4xΔx＝limΔx→04x·Δx＋2Δx2＋4ΔxΔx＝limΔx→0(4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，∴y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数在某一点处的导数的两种方法：(1)定义法，简记为“一差、二比、三极限”，其步骤如下：①求函数的增量，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率，ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；③取极限：f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)导函数的函数值法，即先利用导数的定义求出导函数f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)得f′(x0)．求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．(1)求函数y＝1x在x＝1处的导数；(2)求函数f(x)＝6x2－3x＋2在x＝1处的导数．解析：(1)方法一(定义法)：Δy＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx1＋Δx，ΔyΔx＝－11＋Δx，∴函数在x＝1处的导数f′(1)＝limΔx→0－11＋Δx＝－1.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二(求导函数的函数值法)：Δy＝1x＋Δx－1x＝x－x＋Δxx＋Δx·x＝－Δxx＋Δx·x，ΔyΔx＝－1x＋Δx·x，∴y′＝limΔx→0－1x＋Δx·x＝－1x2，∴当x＝1时，导数值为y′|x＝1＝－1.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝6(1＋Δx)2－3(1＋Δx)＋2－5＝6(Δx)2＋9Δx，f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→06Δx2＋9ΔxΔx＝limΔx→0(6Δx＋9)＝9.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升瞬时速度与平均速度的求解一个直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨]数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)当t＝0时的速度为初速度，在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分ΔsΔt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt，3分limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22