人教版高中数学选修11课件第3章导数及其应用331

数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2010年舒马赫复出的消息是F1赛车上的重磅炸弹，人们纷纷研究这位传奇的“F1之王”．研究发现，其除了超群的技术外，速度的调节也恰到好处，他不轻易使用刹车，在某个时间段内速度连续增加，在另一个时间段内速度则连续减少，呈现一定的规律性．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]在某个时间段内速度连续增加，若v＝f(t)，那么f′(t)是否为正呢？[提示1]f′(t)0.[问题2]在某个时间段内速度连续减少，若v＝f(t)，那么f′(t)是否为负呢？[提示2]f′(t)0.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f′(x)0单调_____f′(x)0单调_____f′(x)＝0______函数递增递减常数数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升上述结论可用图来直观理解．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．深入理解导数与单调性的关系在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)0.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．对导数法研究函数单调性的两点注意：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)0得0x2，所以f(x)的单调递减区间为(0,2)．答案：D数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由y＝f′(x)的图象可知，当x0或x2时，f′(x)0；当0x2时，f′(x)0，∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．答案：C数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．函数f(x)＝xlnx的单调递增区间是________．解析：函数定义域为{x|x0}，f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)0得x1e，∴函数f(x)的单调递增区间是1e，＋∞.答案：1e，＋∞数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R.若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．解析：∵函数在[1,2]上是减函数，∴f′(x)＝2x＋a－1x≤0在[1,2]上恒成立，令h(x)＝2x＋a－1x，易知h(x)在[1,2]上单调递增，故只需h(2)≤0即可．解得a≤－72，故实数a的取值范围是－∞，－72.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝exx－2；(2)y＝x3＋ax(a∈R)．[思路点拨]对(1)，求导后，应注意a的讨论．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex0，(x－2)20.由f′(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)0得x3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)y′＝3x2＋a，令y′0，即3x2＋a0，当a≥0时，总有f′(x)≥0，则函数f(x)在R上是增加的；当a0时，得3x2－a，即x－a3或x－－a3.而y′0的解为－－a3x－a3.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴当a≥0时，函数f(x)的递增区间为(－∞，＋∞)．当a0时，函数f(x)的递增区间为－∞，－－a3，－a3，＋∞，单调递减区间为－－a3，－a3.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)求函数单调区间的步骤：(2)含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－6x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)函数定义域为R，f′(x)＝3x2－6，令f′(x)0即3x2－60，解得x2或x－2，令f′(x)0即3x2－60解得－2x2，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得－33x0或x33.又∵x0，∴x33.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得x－33或0x33.又∵x0，∴0x33.∴f(x)的单调递增区间为33，＋∞，单调递减区间为0，33.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函数与导函数图象之间的关系设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是()[思路点拨]根据函数的单调性与其导数的正负之间的关系作判断．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)0.因此，选项A符合题意．同理，选项B，C也符合题意．对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．答案：D数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)注意图形语言、符号语言之间的转化及应用．在某个区间内f′(x)0(或f′(x)0)也就是f′(x)的图象在x轴的上方(或下方)，则函数在该区间内是增函数(或减函数)．(2)研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知导函数f′(x)的下列信息：当－1x3时，f′(x)0；当x3，或x－1时，f′(x)0；当x＝－1，或x＝3时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：如下图：数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当－1x3时，f′(x)0，可知f(x)在此区间内单调递减；当x3，或x－1时，f′(x)0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x＝－1，或x＝3时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)的图象的大致形状如上图所示．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知函数单调性求参数范围已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x，a≠0.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨]函数在区间[a，b]上单调递增减→f′x≥0f′x≤0在区间[a，b]上恒成立→利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)h(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2.2分因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－20有解，4分即a1x2－2x有解．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升设G(x)＝1x2－2x，所以只要aG(x)min即可，而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1，所以a－1.6分(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立，8分数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1.因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716.10分当a＝－716时，数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升h′(x)＝1x＋716x－2＝16＋7x2－32x16x＝7x－4