人教版高中数学选修11课件第3章导数及其应用332

数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.3.2函数的极值与导数数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件．3．会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但它却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底的最低者的底部．每个山峰附近的走势如何？与导数有什么关系？[提示]在山峰左侧f′(x)0，上升趋势；右侧f′(x)0，下降趋势．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧________，右侧____________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．极小值点与极小值f′(x)0f′(x)0数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．_________、__________统称为极值点，________和________统称为极值．极大值点与极大值f′(x)0f′(x)0极小值点极大值点极大值极小值数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对函数的极值的理解(1)极值是一个局部概念：由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1)．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知函数f(x)在(a，b)上可导，且x0∈(a，b)，以下结论中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升C．如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值D．如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值解析：由极值点和极值的定义可知，B正确，C，D不正确．导数为零的点不一定是极值点，故A不正确．答案：B数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：∵f(x)＝2x＋lnx，∴f′(x)＝－2x2＋1x，令f′(x)＝0，即－2x2＋1x＝x－2x2＝0，解得x＝2.当x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0，所以x＝2为f(x)的极小值点．答案：D数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．函数y＝exx(x0)的极小值为________．解析：y′＝ex·x－exx2＝exx－1x2，令y′＝0，得x＝1，当0x1时，y′0；当x1时，y′0，所以当x＝1时，函数取得极小值e.故填e.答案：e数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．求函数f(x)＝x4－x3的极值．解析：∵f(x)＝x4－x3，∴f′(x)＝4x3－3x2.令f′(x)＝0，即4x3－3x2＝0，得x2(4x－3)＝0.∴x＝0或x＝34.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升x(－∞，0)00，343434，＋∞f′(x)－0－0＋f(x)不是极值－27256由上表可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间0，34上还是减函数，因此x＝0不是函数的极值点；而函数f(x)在区间0，34上是减函数，在区间34，＋∞上是增函数，因此在x＝34处取得极小值，其值为－27256.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数的极值求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝lnxx.[思路点拨]按照求极值的基本方法，首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增10单调递减－22单调递增因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2.令f′(x)＝0，解得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增1e单调递减因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝1e，没有极小值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数极值的方法：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的全部实根；(3)列表，检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右的值的符号；(4)判断单调性，确定极值．特别提醒：最好列表判断，避免出错．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值．解析：函数的定义域为R.f′(x)＝2x2＋1－4x2x2＋12＝－2x－1x＋1x2＋12.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值由表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－22－2＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝22－2＝－1.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知极值求参数已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨]求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法进行，其重点是列表检查导数为零的点的左、右两侧的导数值是不是异号的，若异号，则导数为零的点对应的函数值是极值；否则，导数为零的点对应的函数值不是极值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－23为f′(x)＝0的解．∴1－23＝－23a，1×－23＝b3.∴a＝－12，b＝－2.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由(1)知f(x)＝x3－12x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1.∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)4927－12∴f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为－23，1.当x＝－23时，f(x)有极大值为f－23＝4927；当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．若例题为已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值，且函数的极小值为－12，求f(－1)．解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－23为f′(x)＝0的解．∴1－23＝－23a，1×－23＝b3.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴a＝－12，b＝－2.∴f(x)＝x3－12x2－2x＋c，f′(x)＝3x2－x－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)2227＋c－32＋c∴f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为－23，1.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－32＋c.∴－32＋c＝－12，即c＝1.∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1.∴f(－1)＝－1－12＋2＋1＝32.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函