人教版高中数学选修11课件第3章导数及其应用34

数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.4生活中的优化问题举例数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤．2．会利用导数解决某些实际问题．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2012春，我国云南遭遇特大旱灾，为确保农业生产用水，某市及时下拨资金建水塔和泵房．已知水塔为圆柱体，其上、下底的单位面积造价是侧面单位面积造价的a倍．当其容积为常量时，应如何设计水塔的尺寸能使总造价最低？数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[提示]设容积为V，圆柱体的底面半径为x，则高为Vπx2，总造价y＝2πx2·am＋2πx×Vπx2·m＝2πmax2＋Vπx，通过求导，令y′＝0，求得x.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升最优化问题数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解决优化问题的基本思路数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解决优化问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找出问题的主要关系．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待求最值的对象表示为该变量的函数．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x0)，为使利润最大，应生产()A．9千台B．8千台C．6千台D．3千台解析：利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x0)，求导数得y′＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)．答案：C数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．将长度是8的均匀直钢条截成两段，使其立方和最小，则分法为()A．2与6B．4与4C．3与5D．以上均错解析：设一段长为x，则另一段为8－x，其中0x8.设y＝x3＋(8－x)3，则y′＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)．令y′＝0，得x＝4，检验知x＝4时y最小．答案：B数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________．解析：设圆锥的高为xcm，则底面半径为202－x2cm，其体积为V＝13πx(202－x2)(0x20)，V′＝13π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝2033，x2＝－2033(舍去)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当0x2033时，V′0；当2033x20时，V′0，∴当x＝2033时，V取最大值．答案：2033cm数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元．问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解析：设船速为x(x0)，燃料费用为Q元，则Q＝kx3.由6＝k×103，得k＝3500.∴Q＝3500x3.∴总费用y＝3500·x3＋96·1x＝3500x2＋96x.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升y′＝6500x－96x2，令y′＝0，得x＝20.当x∈(0,20)时，y′0，此时函数单调递减；当x∈(20，＋∞)时，y′0，此时函数单调递增．∴当x＝20时，y取得最小值．∴此轮船以20千米/时的速度行驶，每千米的费用总和最小.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升面积、容积的最值问题在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的半径r为多大时：(1)圆柱体的体积最大？(2)圆柱体的表面积最大？[思路点拨]由题意写出关于r的体积与表面积函数，用导数法求函数的最值以及取最值时变量r的取值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V，表面积为S，设△ABC中BC边上的高为H，如图所示．则V＝πr2h，S＝2πr2＋2πrh.HH－h＝Rr，∴h＝H1－rR，∴V＝πr2H1－rR＝πHr2－π·HRr3(0rR)，S＝2πr2＋2πrH1－rR＝2πr2－2π·HRr2＋2πHr(0rR)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)V′＝2πrH－3π·HRr2；令V′＝0得r＝23R(0rR)．由于在(0，R)内只有一个使函数的导数为0的点，问题(1)中体积的最大值显然存在，故当r＝23R时，体积最大．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)S′＝4πr＋2πH－4πH·rR，令S′＝0，得r＝HR2H－R，0rR，即0HR2H－RR，∴H2R，即当H2R时，r＝HR2H－R.由于在(0，R)内只有一个使函数的导数为0的点，问题(2)中表面积的最大值显然存在，故当r＝HR2H－R时，表面积最大．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．横截面为矩形的横梁的强度同它的横截面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，横截面的宽与高应是多少？数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：根据题意，设横截面的宽为x，则高为d2－x2，则强度函数f(x)＝kx(d2－x2)(k0)，f′(x)＝k(d2－3x2)，令f′(x)＝0(0xd)，得x1＝33d，x2＝－33d(舍去)．当x∈0，33d时，f′(x)0，此时f(x)单调递增；当x∈33d，d时，f′(x)0，此时f(x)单调递减．所以当x＝33d时，f(x)取得极大值，也即最大值，此时高为63d.所以将圆木锯成的横梁强度最大时，横截面的宽为33d，高为63d.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升最大利润问题某商场2013年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是p(x)＝12x(x＋1)·(39－2x)(x∈N＋，且x≤12)．该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N＋，且x≤12)，数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)写出2013年第x个月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场2013年销售该商品的月利润最大是多少元？[思路点拨]由已知――→由需求总量求出第x个月的需求量――→再求出月利润的函数关系式――→利用导数求最值数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；当2≤x≤12且x∈N＋时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝12x(x＋1)(39－2x)－12(x－1)·x·(41－2x)＝－3x2＋40x.经验证x＝1符合f(x)＝－3x2＋40x，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且x≤12)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)设该商场2013年销售该商品的月利润为g(x)元，则g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)＝6x3－185x2＋1400x(x∈N＋，且x≤12)，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝1409(舍去)．当1≤x5且x∈N＋时，g′(x)0；当5x≤12且x∈N＋时，g′(x)0，所以当x＝5时，g(x)取得极大值，也即最大值，所以g(5)＝3125.所以该商场2013年5月份的月利润最大，为3125元．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升利润最大问题是我们生活中最常遇到的问题，根据利润(收益)＝销售额－成本，列出函数关系式，再利用导数求函数的最大值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2.其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升成本最低(费用最省)问题如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理