人教版高中数学选修21课件本章归纳整合3

数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估知能整合提升数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估1．类比平面向量，理解空间向量(1)空间向量是平面向量的推广，所涉及的内容，如模、零向量、单位向量、自由向量、相等向量、平行向量等与平面向量基本相似，平面向量的运算律和运算法则同样适用于空间向量，因此要充分利用这两种向量间的内在联系，运用类比的数学思想进行学习．(2)空间向量的加、减、数乘运算都可以通过平移使其转化为平面向量，并利用平面向量的加、减运算法则及有关运算律等知识来解决，因此要注意强化这种空间问题平面化的解题意识．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．准确把握三个定理，顺利解决向量平行、共面、分解问题(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.共线向量定理是证明线线平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→；或对空间任意一点O，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→，此结论常用来证明四点共面问题．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．由定理可知，空间任一向量都可以用三个不共面的向量表示出来．空间向量基本定理是实现空间任意向量的基底化表示、空间向量的坐标化表示的理论基础．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估3．重视数量积学习，加强向量运算与坐标表示的结合(1)空间两个向量的数量积是a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，数量积满足运算律：①与数乘的结合律，即λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)；②交换律，即a·b＝b·a；③分配律，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)空间向量运算的坐标表示：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；③λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；④a·b＝(a1b1，a2b2，a3b3)；数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估⑤a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，或a1b1＝a2b2＝a3b3；⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；⑦|a|＝a·a＝a21＋a22＋a33；⑧cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23(a≠0，b≠0)．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(3)在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的距离dAB＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估4．明晰两个向量含义，灵活判断位置关系设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0面面平行α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0线线夹角l，m的夹角为θ0≤θ≤π2，cosθ＝|a·b||a||b|线面夹角l，α的夹角为θ0≤θ≤π2，sinθ＝|a·u||a||u|面面夹角α，β的夹角为θ0≤θ≤π2，cosθ＝|u·v||u||v|其中，线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估5．三法解决立体几何问题，强化坐标法意识(1)综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．一般情况下，我们遵循的原则是：以综合法为基础，以向量法为主导，以坐标法为中心．(2)将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，可以简单地处理线线、线面、面面的夹角及点到面的距离等计算问题．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估热点考点例析数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估1．空间向量及其加减运算(1)空间向量可以看作是平面向量的推广．它们之间有许多共同性质．如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等都是一致的．(2)空间向量的加减法是用几何方式引入的．向量的加法满足交换律及结合律．对于加法的平行四边形法则和三角形法则，以及减法的三角形法则要注意灵活运用．空间向量的概念及其运算数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．空间向量的数乘运算及平面向量基本定理(1)空间向量的数乘运算，平行向量的概念，向量平行的充要条件与平面向量的性质一致．(2)共面向量基本定理，可以判断空间中一向量p与不共线向量a，b的关系．特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估特别提醒：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序数组{x，y，z}，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝29，且λ0，则λ的值为________．思维点击：利用向量的模的计算公式和数量积运算，化简|λa＋b|＝29，得出关于λ的方程，求λ的值．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估方法一：由|λa＋b|＝29得，λ2|a|2＋|b|2＋2λa·b＝29，又|a|＝02＋－12＋12＝2，|b|＝42＋12＋02＝17，a·b＝(0，－1,1)·(4,1,0)＝0×4＋(－1)×1＋1×0＝－1，代入上式得2λ2－2λ＋17＝29，即λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2，又λ0，∴λ＝3.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估方法二：由于a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，所以λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，|λa＋b|＝29，∴42＋(1－λ)2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2，又∵λ0，∴λ＝3.答案：3数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，则A1B→等于()A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估解析：如图，A1B→＝AB→－AA1→＝CB→－CA→－AA1→＝CB→－CA→－CC1→＝b－a－c.答案：D数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即a⊥b⇔a·b＝0.空间向量与线面位置关系数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到的一个向量与直线的方向向量是共线向量．(4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估思维点击：建系→写出各点的坐标→写出B1D→，AB→，BD→的坐标→证明垂直→写出GF→，EF→坐标→证明平行数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系，设A1(a,0,0)，则B1(0,0,0)，C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0，0,1)，A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，Ga2，1，0.∴B1D→＝(0,2,2)，AB→＝(－a,0,0)，BD→＝(0,2，－2)．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估∴B1D→·AB→＝0＋0＋0＝0，B1D→·BD→＝0＋4－4＝0.∴B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD＝B，∴B1D⊥平面ABD.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)∵AB→＝(－a,0,0)，BD→＝(0,2，－2)，GF→＝－a2，0，0，EF→＝(0,1，－1)，∴GF→＝12AB→，EF→＝12BD→.∴GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，∴平面EGF∥平面ABD.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估证明：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD→＝AD→－AB→，B1D1→＝A1D1→－A1B1→，又∵AD→＝A1D1→，AB→＝A1B1→，∴BD→＝B1D1→，∴BD∥B1D1.同理可证A1B∥D1C，又BD∩A1B＝B，B1D1∩D1C＝D1，所以平面A1BD∥平面B1CD1.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)MN→＝MB→＋BC→＋CN→＝12AB→＋AD→＋12(CB→＋CC1→)＝12AB→＋AD→＋12(－AD→＋AA1→)＝12AB→＋12AD→＋12AA1→.设AB→＝a，AD→＝b，AA