人教版高中数学选修21课件第2章圆锥曲线与方程242第1课时

数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2．通过对抛物线的简单几何性质的学习，进一步体会数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问题．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．抛物线有几个焦点？[提示]抛物线有1个焦点．2．抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？[提示]抛物线没有渐近线．3．抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？[提示]抛物线的顶点只有一个，椭圆的顶点有4个．双曲线的顶点有2个．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升抛物线的几何性质类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图象焦点________________________性质准线________________________p2，0－p2，00，p20，－p2x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)范围________________________________________对称轴___________顶点__________离心率e＝1性质开口方向________________________x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈Rx轴y轴原点(0,0)向右向左向上向下数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升抛物线的性质特点(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线．(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且顶点到它们的距离相等，均为p2.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是()A.1716B.78C．1D.1516数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：D解析：抛物线方程可化为x2＝14y，其准线方程为y＝－116，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M到x轴的距离是1516.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16y解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.答案：D数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．答案：y2＝±6x解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，则Fa2，0.∴|y|＝2a×a2＝a2＝|a|.由于通径长为6，即2|a|＝6，∴a＝±3.∴适合题意的抛物线方程为y2＝±6x.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知A，B是抛物线y2＝2px(p0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．解析：抛物线的焦点Fp2，0.∵抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|，∴△ABO为等腰三角形．∴A，B两点关于x轴对称．设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∵△ABO的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF⊥OA，则kBF·kOA＝－1，即－y0－0x0－p2·y0x0＝－1.又∵y20＝2px0，∴x0＝52p，∴直线AB的方程为x＝5p2.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求抛物线的标准方程已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．思路点拨：因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为±3.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，则|y1|＋|y2|＝23，即y1－y2＝23，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝3.将y1＝3代入x2＋y2＝4得x＝±1，数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y2＝2px，y2＝－2px上．∴3＝2p或3＝(－2p)×(－1)，p＝32.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要解答步骤归结如下：数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)焦点是F(－8,0)，准线是x＝8；(2)顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上．解析：(1)焦点是F(－8,0)，准线是x＝8，表明抛物线顶点在原点，焦点在x轴负半轴，故抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p0)，所以p＝16.因此所求抛物线的标准方程为y2＝－32x.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)∵抛物线的焦点在坐标轴上，故直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即为抛物线的焦点，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x，准线方程为x＝－4；当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p＝4，此时抛物线的标准方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．抛物线几何性质的应用思路点拨：求A，B的坐标―→求出弦长|AB|―→写出△AOB的面积，利用面积列方程解.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点Fp2，0，直线l：x＝p2，∴A，B两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|，∵△OAB的面积为4，∴12·p2·2|p|＝4，∴p＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件，例2的关键是根据对称性求出线段|AB|的长，进而表示面积求出m.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线的横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足为(2,1)．适合抛物线y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，所以①不正确；又抛物线y2＝10x的准线为x＝－52，横坐标为1的点到焦点的距离为：1＋52＝72≠6，所以③不正确；抛物线的通径长为：2p＝10≠5，所以④不正确．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：②⑤设垂足为C(2,1)，则kOC＝1－02－0＝12，而连接垂足和焦点的斜率为：0－152－2＝－2，由2×－12＝－1可知两者垂直，适合题意．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B求|PA|＋|PB|的最小值．思路点拨：抛物线的性质在求最值中的应用数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图，延长PA交准线l于A′，焦点F(1,0)，p2＝1.2分|PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1.6分数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当F，P，B共线时，|PA|＋|PB|最小，即转化为F到x－y＋4＝0的距离减去1.此时d＝|1－0＋4|2＝522，8分∴|PA|＋|PB|的最小值为522－1.11分综上所述，|PA|＋|PB|最小值为522－1.12分数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升与抛物线最值有关的问题的解题技巧与抛物线有关的最值问题，除了利用抛物线的定义，使用几何法求解外，也可根据题目条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到焦点F的距离与到定点A(2，3)的距离之和最小．解析：∵y2＝2x，∴焦点的坐标为F12，0.∵A(2,3)，∴点A在抛物线的外部．连接AF交抛物线于点P，点P就是所求的点．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线AF的方程是y＝2x－1，与抛物线联立得方程组y＝2x－1y2＝2x，解得x＝3－54y＝1－52或x＝3＋54y＝1＋52.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由于点P在线段AF上(不含A，F点)，12x2，∴x＝3－54y＝1－52(舍)．∴P点的坐标是3＋54，1＋52.综上，P点的坐标是3＋54，1＋52.数学选修2-1第二章圆锥曲线与