人教版高中数学选修22课件第2章推理与证明23

数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．3数学归纳法数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升下图为多米诺骨牌：如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[提示](1)处理第一个问题；(相当于推倒第一块骨牌)(2)验证前一问题与后一问题有递推关系．(相当于前牌推倒后牌)数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1．(归纳奠基)证明当n取___________(n0∈N*)时命题成立；2．(归纳递推)假设___________________时命题成立，证明当__________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升上述证明方法叫做数学归纳法可以用框图表示为：数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升数学归纳法的应用及注意事项(1)数学归纳法的应用范围是证明与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题，探求数列的通项及前n项和等．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)应用数学归纳法应注意：①数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．②验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；③在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为()A．1B．2C．3D．4解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.答案：C数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．证明1＋12＋13＋14＋…＋12n－1n2(n∈N*)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是()A．1项B．k－1项C．k项D．2k项数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：当n＝k时，不等式左端为1＋12＋13＋14＋…＋12k－1；当n＝k＋1时，不等式左端为1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1增加了12k＋…＋12k＋1－1项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．答案：D数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为__________.解析：当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.答案：1×4＋2×7…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)．则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边，∴当n＝k＋1时，命题成立．由①②知，对一切n∈N*，命题成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用数学归纳法证明等式或不等式用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n×2n＋2＝n4n＋1.[思路点拨]数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升证明：(1)当n＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k×2k＋2＝k4k＋1成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k×2k＋2＋12k＋2×2k＋4＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14k＋2＝k＋14[k＋1＋1].所以n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可得，对一切n∈N*，等式成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n2＜1－1n(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当n＝2时，左式＝122＝14，右边＝1－12＝12.因为14＜12，所以不等式成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立．即122＋132＋142＋…＋1k2＜1－1k，则当n＝k＋1时，122＋132＋142＋…＋1k2＋1k＋12＜1－1k＋1k＋12＝1－k＋12－kkk＋12＝1－k2＋k＋1kk＋12＜1－kk＋1kk＋12＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数是12n(n－3)．[思路点拨]验证n＝3时成立――→假设假设n＝k时成立――→递推n＝k＋1时成立―→结论数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析．在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在同一平面内的n条直线，每两条不平行，任意三条不共点，求证：它们将此平面分成n2＋n＋22个部分(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，一条直线将平面分成两部分，f(1)＝2，∴n＝1时命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22个部分．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前k条直线交于k个点，使平面增加k＋1个部分．即将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝k＋12＋k＋1＋22个部分．∴n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)两步得命题成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升归纳—猜想—证明已知正项数列{bn}的前n项和Bn＝14(bn＋1)2.(1)求出b1，b2，b3，b4的值；(2)猜想{bn}的通项公式并用数学归纳法证明．[思路点拨]计算b1，b2，b3，b4―→猜想bn―→用数学归纳法证明数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)由已知Bn＝14(bn＋1)2，数列{bn}为正项数列，得B1＝b1＝14(b1＋1)2⇒b1＝1＝2×1－1，B2＝b1＋b2＝14(b2＋1)2，即1＋b2＝14(b2＋1)2⇒b2＝3＝2×2－1，B3＝b1＋b2＋b3＝1＋3＋b3＝14(b3＋1)2⇒b3＝5＝2×3－1，B4＝b1＋b2＋b3＋b4＝1＋3＋5＋b4＝14(b4＋1)2⇒b4＝7＝2×4－1.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由此猜想出：bn＝2n－1(n≥1)为数列的通项公式，用数学归纳法证明：①当n＝1时，b1＝2×1－1＝1，公式成立；②假设当n＝k时，公式成立，即bk＝2k－1.那么bk＋1＝Bk＋1－Bk＝14(bk＋1＋1)2－14(bk＋1)2，整理得(bk＋1－1)2＝(bk＋1)2，故bk＋1＝1±(bk＋1)，数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升又∵{bn}各项为正，∴bk＋1＝－bk(舍去)，∴bk＋1＝bk＋2＝2k＋1＝2(k＋1)－1，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，对于所有n≥1，且n∈N*，均有bn＝2n－1.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升“观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法(1)观察：由已知条件写出前几项；(2)归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系；(3)猜想：猜想出通项公式；(4)证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝a＋n，an0(n∈N*)，(1)求a1，a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解析：(1)由2Sn＝a＋n得当n＝1时，2a1＝a＋1，∴a1＝1.当n＝2时，2S2＝a＋2，∴a2＝2.当n＝3时，2S3＝a＋3，∴a3＝3.猜想：数列{an}的通项公式为an＝n.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)①当n＝1时，a1＝1满足2S1＝a21＋1，∴an＝n成立．②假设n＝k时，ak＝k，则n＝k＋1时，2Sk＋1＝a2k＋1＋k＋1.∴2(a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1)＝a2k＋1＋k＋1，2(1＋2＋3＋…＋k＋ak＋1)＝a2k＋1＋k＋1，2×kk＋12＋2ak＋1＝a2k＋1＋k＋1，数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升整理得a2k＋1－2ak＋1＋(k＋1)(1－k)＝0，即[ak＋1－(k＋1)][ak＋1－(1－k)]＝0.∵an0，∴ak＋1＝k＋1，∴n＝k＋1时，an＝n.由①②知对n∈N*，an＝n成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升◎证明：12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(其中n∈N*)．【错解】证明：(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＝1－12k，数学选修2-2第二章推理