人教版高中数学选修44课件11平面直角坐标系

第一讲坐标系一平面直角坐标系【自主预习】1.直角坐标系(1)数轴.①定义:规定了原点、正方向和_________的直线.②对应关系:数轴上的点与_____之间一一对应.单位长度实数(2)直角坐标系.①定义:在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系.②相关概念:数轴的正方向:水平放置的数轴_____的方向、竖直放置的数轴_____的方向分别是数轴的正方向.向右向上x轴或横轴:坐标轴_____的数轴.y轴或纵轴:坐标轴_____的数轴.坐标原点:坐标轴的__________.③对应关系:平面直角坐标系内的点与_________________之间一一对应.水平竖直公共原点O有序实数对(x,y)④公式:设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P,填表:两点间的距离公式中点P的坐标公式|P1P2|=________________________________221212(xx)(yy)－－1212xxyy(22，）2.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:____________的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.xx(0)yy(0)，，，【即时小测】1.函数y=ln|x|的图象为()【解析】选D.函数y=ln|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又y=lnx在(0,+∞)上为增函数,故选D.2.曲线C经过伸缩变换后,对应曲线的方程为:x2+y2=1,则曲线C的方程为()1xx,2y3y22222222xyA.9y1B.4x149xyC.1D.4x9y149【解析】选A.曲线C经过伸缩变换①后,对应曲线的方程为x′2+y′2=1②,把①代入②得到:+9y2=1.1xx,2y3y2x4【知识探究】探究点平面直角坐标系中点的位置1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点?提示:平面直角坐标系内的点,第一象限符号全正,第二象限横坐标为负,纵坐标为正,第三象限全负,第四象限横坐标为正,纵坐标为负,即一三同号,二四异号.2.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗?提示:不一定.伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置,但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.【归纳总结】1.平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台.建立平面直角坐标系,常常利用垂直直线为坐标轴,充分利用图形的对称性等特征.2.伸缩变换的类型与特点伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置.类型一坐标法求轨迹方程【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m,求顶点C的轨迹方程.【解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么?提示:建系-设点-列条件-得方程、整理.【解析】由题意,以线段AB的中点为原点,AB边所在的直线为x轴建立直角坐标系,如图所示,则A(-a,0),B(a,0).设C(x,y),则线段BC的中点为因为|AE|=m,所以xayE(,).2222xay(a)()m22，化简得(x+3a)2+y2=4m2.由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2(y≠0).(建系不同,轨迹方程不同)【方法技巧】1.建立平面直角坐标系的技巧(1)如果平面几何图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点.(2)如果平面几何图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴.特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上.2.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系.建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便.因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴.(2)建模——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程.(3)运算——通过运算,得到所需要的结果.(4)回归——回归到实际问题作答.【变式训练】1.已知点(5-m,3-2m)不在第四象限,求实数m的取值范围.【解析】若点(5-m,3-2m)在第四象限,则5-m0,且3-2m0,解得m5,故点(5-m,3-2m)不在第四象限时,实数m的取值范围是m≤或m≥5.32322.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.【证明】如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y),则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2,PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2,PB2+PD2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.故PA2+PC2=PB2+PD2.类型二伸缩变换公式与应用【典例】求曲线x2+y2=1经过φ:变换后得到的新曲线的方程.x3x,y4y【解题探究】如何求变换后的新曲线的方程?提示:将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程.【解析】曲线x2+y2=1经过φ:变换后,即代入到圆的方程,可得即所求新曲线的方程为x3x,y4yxx3yy4，，22xy1916，22xy1916．【延伸探究】1.若曲线C经过变换后得到圆x2+y2=1,求曲线C的方程.1xx21yy3，【解析】将代入到方程x′2+y′2=1,得即曲线C的方程.1xx21yy3，22xy149，2.若圆x2+y2=1经过变换φ′后得到曲线求变换φ′的坐标变换公式.22xyC1,2516：【解析】设φ′:代入到C′中得与圆的方程比较得λ=5,μ=4.故φ′的变换公式为xxyy，，2222xy12516，x5xy4y.，【方法技巧】与伸缩变换相关问题的处理方法(1)已知变换前的曲线方程及伸缩变换,求变换后的曲线方程的方法:利用伸缩变换用(x′,y′)表示出(x,y),代入变换前的曲线方程.(2)已知变换后的曲线方程及伸缩变换,求变换前的曲线方程:利用伸缩变换用(x,y)表示(x′,y′),代入变换后的曲线方程.(3)已知变换前后的曲线方程求伸缩变换,将变换前后的方程变形,确定出(x′,y′)与(x,y)的关系即为所求的伸缩变换,也可用待定系数法.【补偿训练】1.(2016·蚌埠高二检测)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x′2+y′2=1,则曲线C的方程为()x4xy3y＝，＝22222222A9x16y1B16x9y1xyxyC1D1169916．＋＝．＋＝．．【解析】选B.设曲线C上任意一点的坐标为P(x,y),按φ:变换后的对应的坐标为P′(x′,y′),代入x′2+y′2=1,得16x2+9y2=1.x4xy3y＝，＝2.将曲线y=sin(2016x)按φ:变换后的曲线与直线x=0,x=π,y=0围成图形的面积为________.x2016x1yy2＝，＝【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),由φ:代入y=sin(2016x),得2y′=sinx′,所以y′=sinx′,即y=sinx,所以y=sinx与直线x=0,x=π,y=0围成图1x2016xxx20161yyy2y2＝，＝，得＝＝，121212形的面积为S=答案:100111sinxdxcosx|(coscos0)1222．自我纠错伸缩变换公式的应用【典例】将曲线按照φ:变换为曲线求曲线y=cos4x在φ变换后的曲线的最小正周期与最大值.y3sin(2x)3xx0yy0，（），，（）ysinx3（），【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是弄错了变换顺序,错误代入方程.正确解答过程如下:【解析】由φ:得φ:将曲线按照φ:变换为曲线的方程为xx0yy0，（），，（），1xx01yy0，（），，（），y3sin2x3（）xx0yy0，（），，（）2y3sinx3（），由题意,得3μ=1,故λ=2,则曲线y=cos4x在φ变换后的曲线的方程为所以变换后的曲线的最小正周期为π,最大值为21，1.31ycos2x3，1.3