人教版高中数学选修44课件第一讲三简单曲线的极坐标方程

第一讲坐标系三、简单曲线的极坐标方程[学习目标]1.会写过极点的直线方程和圆心在极点的圆的方程(重点)．2.熟练掌握和运用过极点且圆心在极轴或在(ρ，θ)处的圆的极坐标方程(重点、难点)．3.运用极坐标方程解一些与圆有关的几何问题，进而体会极坐标方程的方便之处(难点)．4.深入理解并熟练运用平面上点的极坐标(ρ，θ)，并理解平面曲线的极坐标方程ρ＝ρ(θ)的含义(难点)．[知识提炼·梳理]1．极坐标方程与平面曲线在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(半径为r)圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r(0≤θ2π)圆心在点(r，0)ρ＝2rcosθ－π2≤θπ2圆心在点r，π2ρ＝2rsin_θ(0≤θπ)圆心在点(r，π)ρ＝－2rcosθπ2≤θ3π2圆心在点r，32πρ＝－2rsinθ(－πθ≤0)3.直线的极坐标方程(ρ∈R)直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)；(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点A(a，0)(a0)，且与极轴垂直ρcosθ＝a－π2θπ2M(ρ，θ)在l上且不与A重合过点Ma，π2(a0)，且与极轴平行ρsinθ＝a(0θπ)4.曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化当我们把直角坐标系的原点作为极点，极轴与平面直角坐标系中x轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的单位长度，则有利用这两个公式我们不仅可以把平面上点的两种坐标进行相互转化，还可以把曲线的两种方程进行相互转化．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程．()(2)tanθ＝1与θ＝π4表示同一条曲线．()(3)ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．()(4)极坐标方程θ＝3π4表示的图形是一条射线．()解析：(1)点P的极坐标有无数个，故(1)不正确．(2)tanθ＝1所表示的是直线y＝x，不包括坐标原点，θ＝π4所表示的是直线y＝x，包括坐标原点，故不正确．(3)中的两个极坐标方程都表示圆心在极点，半径为3的圆，正确．(4)θ＝34π是指由极角为3π4，极径为任意实数的点组成的一条直线，不正确．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．极坐标方程ρ＝cosπ4－θ表示的曲线是()A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆解析：极坐标方程ρ＝cosπ4－θ化为直角坐标方程是x2＋y2－22x－22y＝0，表示的曲线是圆．答案：D3．在极坐标系中，过点P3，π3且垂直于极轴的直线方程为()A．ρcosθ＝32B．ρsinθ＝32C．ρ＝32cosθD．ρ＝32sinθ解析：如图所示，设直线l与极轴交点为A，则|OA|＝|OP|cosπ3＝32，设直线上动点M(ρ，θ)，则|OM|cosθ＝|OA|，即ρcosθ＝32.答案：A4．把圆C的极坐标方程ρ＝2cosθ转化为直角坐标方程为____________，圆心的直角坐标为____________．解析：因为ρ＝2cosθ，所以ρ2＝2ρcosθ，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入得直角坐标方程为x2＋y2＝2x，其圆心坐标为(1，0)．答案：x2＋y2＝2x(1，0)5．极点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝3的距离是______．解析：直线的直角坐标方程是x＋y－3＝0，极点即原点，故极点到该直线的距离是32＝62.答案：62类型1求圆的极坐标方程(自主研析)[典例1]在极坐标平面上，求圆心A8，π3，半径为5的圆的方程．解：法一如图所示，在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，|OA|＝8，|AP|＝5，∠AOP＝π3－θ或θ－π3.由余弦定理，得cosπ3－θ＝82＋ρ2－522×8ρ.即ρ2－16ρcosθ－π3＋39＝0.经检验，点3，π3，13，π3的坐标满足以上方程．所以，所求圆的方程为：ρ2－16ρcosθ－π3＋39＝0.法二以极点O为坐标原点，极轴Ox为x轴建立平面直角坐标系．则圆心A8，π3的直角坐标为(4，43)，半径为5的圆的直角坐标方程为：(x－4)2＋(y－43)2＝25，化为极坐标方程为：(ρcosθ－4)2＋(ρsinθ－43)2＝25，化简得：ρ2－16ρcosθ－π3＋39＝0.所以所求圆的方程为：ρ2－16ρcosθ－π3＋39＝0.归纳升华1．求圆的极坐标方程的步骤：①根据题意画出草图．②设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)．③在极点、圆心与点M构成的三角形中，运用余弦定理等列出方程f(ρ，θ)＝0，并化简．④验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合所得极坐标方程．2．求圆的极坐标方程也可采用间接法，即先求出相应的直角坐标方程再化为极坐标方程．[变式训练]求下列圆的极坐标方程(其中点的坐标均为极坐标)．(1)圆心为点1，－π2，半径为1；(2)圆心为点(2，π)，半径为1；(3)圆心为点22，π4，半径为1.解：(1)设点P(ρ，θ)为所求圆上任意一点，根据圆的性质和三角形的知识可得ρ＝－2sinθ.(2)设点P(ρ，θ)为所求圆上任意一点，当点P不在极轴的反向延长线上时，根据余弦定理可得12＝ρ2＋22－2·ρ·2cos|π－θ|，即ρ2＋4ρcosθ＋3＝0.当点P在极轴的反向延长线上时，P点的极坐标为(1，π)或(3，π)，经验证，也适合这个方程，故ρ2＋4ρcosθ＋3＝0为所求圆的极坐标方程．(3)设点P(ρ，θ)为所求圆上任意一点，当点P不在直线θ＝π4上时，根据余弦定理，得12＝ρ2＋(22)2－42ρcosπ4－θ，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0.不难验证当点P在直线θ＝π4上时也适合上述方程，故ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0为所求圆的极坐标方程．类型2求直线的极坐标方程(互动探究)[典例2]求过点A(1，0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．解：法一设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．则∠xAM＝π4，∠OAM＝3π4，∠OMA＝π4－θ.在△OAM中，由正弦定理得|OM|sin∠OAM＝|OA|sin∠OMA，即ρsin3π4＝1sinπ4－θ，故ρsinπ4－θ＝22，即ρsinπ4cosθ－cosπ4sinθ＝22，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1，0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中0≤θπ4，ρ≥0和5π4θ2π，ρ≥0.法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系Oxy.因为直线的斜率k＝tanπ4＝1，所以过点A(1，0)的直线方程为y＝x－1.将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入上式，得ρsinθ＝ρcosθ－1，所以ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θπ4，ρ≥0和5π4θ2π，ρ≥0.归纳升华1．求解直线的极坐标方程，常用两个方法：(1)通过运用解三角形建立动点所满足的等式，从而集中条件建立以ρ，θ为未知数的方程；(2)先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接求解．2．求直线的极坐标方程时，若ρ≥0，直线的极坐标方程需转化为两条射线的极坐标方程表示，只有规定了“负极径”的意义，即允许ρ∈R时，直线的极坐标方程才是唯一的．[迁移探究](1)求过A2，π4且平行于极轴的直线的极坐标方程；(2)求过A3，π3且和极轴成3π4的直线的极坐标方程．解：(1)如图所示，在直线l上任意取点M(ρ，θ)，因为A2，π4，所以|MH|＝2sinπ4＝2.在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sinθ，即ρsinθ＝2，所以过A2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsinθ＝2.(2)如下图所示，A3，π3，即|OA|＝3，∠AOB＝π3.由已知∠MBx＝3π4，所以∠OAB＝3π4－π3＝5π12.所以∠OAM＝π－5π12＝7π12.又∠OMA＝∠MBx－θ＝3π4－θ.在△MOA中，根据正弦定理，得3sin3π4－θ＝ρsin7π12.因为sin7π12＝sinπ4＋π3＝2＋64，将sin3π4－θ展开，ρ(sinθ＋cosθ)＝332＋32.故过A3，π3且和极轴成3π4的直线方程为ρ(sinθ＋cosθ)＝332＋32.类型3直角坐标方程与极坐标方程的互化[典例3](1)把下列直角坐标方程化为极坐标方程．①2x＋y＋1＝0；②x2＋y2＝4；③x24＋y23＝1；④x2－y2＝2.(2)把下列极坐标方程化为直角坐标方程．①ρcosθ－ρsinθ－1＝0；②ρ＝3；③θ＝π4(ρ∈R)；④ρ＝4cosθ＋2sinθ.解：(1)①把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入2x＋y＋1＝0中，得2ρcosθ＋ρsinθ＋1＝0，即ρ(2cosθ＋sinθ)＋1＝0.②把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝4中，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝4，化简得ρ＝2.③把x＝ρcosθ，y＝sinθ代入x24＋y23＝1中，得ρ2cos2θ4＋ρ2sin2θ3＝1，即ρ2(3cos2θ＋4sin2θ)＝12.④把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2－y2＝2中，得ρ2cos2θ＝2.(2)①把ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入方程ρcosθ－ρsinθ－1＝0中，得x－y－1＝0.②把ρ＝x2＋y2代入方程ρ＝3中，得x2＋y2＝9.③由tanθ＝yx(x≠0)可得yx＝1，即x－y＝0.(0，0)在已知的曲线上，也适合x－y＝0，故x－y＝0即为θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程．④等式ρ＝4cosθ＋2sinθ两边同时乘以ρ，并把ρ＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入，化简可得(x－2)2＋(y－1)2＝5.归纳升华1．利用公式y＝ρcosθ，y＝ρsinθ将直角坐标化为极坐标．2．将极坐标化为直角坐标时，应注意极坐标方程的形式，可以两边同乘ρ，cosθ，sinθ等，如ρ＝2cosθ两边同乘cosθ得ρcosθ＝2，即x＝2；ρ＝2cosθ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x等．也可以由ρ＝x2＋y2，cosθ＝xρ，sinθ＝yρ直接代入求得．[变式训练](1)直角坐标方程y2＝4x化为极坐标方程为________________．(2)直角坐标方程y2＋x2－2x－1＝0化为极坐标方程为__________________．(3)极坐标方程θ＝π3化为直角坐标方程为_________．(4)极坐标方程ρ2cos2θ＝4化为直角坐标方程为________________．解析：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)因为tanθ＝yx，所以tanπ3＝yx＝3.化简，得y＝3x(x≥0)．(4)因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4.答案：(1)ρsin2θ＝4cosθ(2)ρ2－2ρcosθ－1＝0(3)y＝3x(x≥0)(4)x2－y2＝4类型4极坐标方程与直角坐标方程的综合运用(规范解答)[典例4]