人教版高中数学选修45课件12绝对值不等式1

二绝对值不等式1.绝对值三角不等式【自主预习】1.绝对值的几何意义原点距离长度a2.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b∈R,则|a+b|≤________,当且仅当______时,等号成立.(2)定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.|a|+|b|ab≥0(3)定理2:如果a,b,c∈R,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当______________时,等号成立.(a-b)(b-c)≥0【即时小测】1.已知a,b∈R,则使不等式|a+b||a|+|b|一定成立的条件是()A.a+b0B.a+b0C.ab0D.ab0【解析】选D.根据绝对值的意义,可知只有当ab0时,不等式|a+b||a|+|b|成立.2.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|≥|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,当且仅当x∈[0,1],y∈[-1,1]时,等号成立.3.不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围为_________.【解析】因为|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2,当且仅当-1≤x≤1时等号成立,所以,使不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立的实数a的取值范围为a≤2.答案:a≤2【知识探究】探究点绝对值三角不等式1.用向量a,b分别替换a,b,当a与b不共线时,有|a+b||a|+|b|,其几何意义是什么?提示:其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么?提示:右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|.【归纳总结】1.对定理1的两点说明(1)由于定理1与三角形边之间的联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.(2)定理1可推广到n个实数情况即:|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.2.定理2的几何解释在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时,(1)点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.(2)点B不在A,C上时,|a-c||a-b|+|b-c|.类型一利用绝对值三角不等式证明不等式【典例】设函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|1.求证:|f(x)-f(a)|2|a|+3.【解题探究】典例中对于|f(x)-f(a)|如何构造,使其满足绝对值不等式的形式?提示:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|.【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|1,所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2||x+a-2|=|(x-a)+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|2|a|+3.【方法技巧】两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明.另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.【变式训练】1.设m是|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|m时,求证:2.【解题指南】利用m≥|a|,m≥|b|,m≥1求解.2ab||xx【证明】因为|x|m≥|b|且|x|m≥1,所以|x2||b|.又因为|x|m≥|a|,所以故原不等式成立.22222abxxabab||||||2,xxxxxxxx2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|1,求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).【解题指南】将|f(x)-f(a)|分解成含|x-a|的形式,再利用|x-a|1证明.【证明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+c-(a2-a+c)|=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|·|x+a-1||x+a-1|=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+11+2|a|+1=2(|a|+1).类型二利用绝对值三角不等式求最值或取值范围【典例】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.【解题探究】典例中求|x-3|-|x+1|的最值可利用哪个绝对值不等式?提示:根据||a|-|b||≤|a-b|求最值.【解析】因为||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,所以-4≤|x-3|-|x+1|≤4.所以ymax=4,ymin=-4.【延伸探究】1.典例中函数y取到最大值时,需满足什么条件?【解析】函数y取到最大值,需要满足解得x≤-1.x3x10,x3x1.2.若将典例条件改为|x-3|+|x+1|a的解集不是R,求a的取值范围.【解析】只要a不小于|x-3|+|x+1|的最小值,则|x-3|+|x+1|a的解集不是R,而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|≥|3-x+x+1|=4,当且仅当(3-x)(x+1)≥0,即-1≤x≤3时取最小值4,所以a的取值范围是[4,+∞).【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|x+a|-|x+b|的最值的三种方法(1)转化法:转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解,但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.【变式训练】已知x∈R,求函数f(x)=|x+1|-|x-2|的最大值.【解析】根据绝对值的三角不等式,有|x+1|-|x-2|≤|(x+1)-(x-2)|=3.当且仅当x≥2时等号成立.故函数f(x)=|x+1|-|x-2|≤3,所以最大值为3.类型三绝对值三角不等式的综合应用【典例】(2014·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=+|x-a|(a0).(1)证明:f(x)≥2.(2)若f(3)5,求a的取值范围.1|x|a【解题探究】1.典例(1)中可利用什么来证明f(x)≥2?提示:利用绝对值不等式去掉x,再利用平均不等式证明.2.典例(2)中含绝对值的不等式如何转化为不含绝对值?提示:可通过对a讨论,去掉绝对值,解不等式.【解析】(1)由a0,有f(x)=所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.当a3时,f(3)=a+,由f(3)5,得3a11|x|xa|xxa|aa1|3|a1a521.21a2.a当0a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)5,得a≤3.综上,a的取值范围是1a15215521().22，【方法技巧】绝对值不等式综合应用的解题策略含绝对值的综合问题,综合性强,所用到的知识多,在解题时,要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件,还要注意配方等等价变形,同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时,还要注意等号成立的条件.【变式训练】1.设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,恒有|f(x)|≤1,求证:|f(2)|≤7.【证明】因为|x|≤1时,有|f(x)|≤1,所以|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,又f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c所以|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7.所以|f(2)|≤7.2.已知函数f(x)=lg(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并给出证明.(2)若t∈R,求证:22xx1.x171113lgf(|t||t|)lg.106610【解析】(1)f(x)在[-1,1]上是减函数.证明:令取-1≤x1x2≤1,则u1-u2=222xx1xu1.x1x121122212xx1xx,x1x1因为|x1|≤1,|x2|≤1,x1x2,所以u1-u20,即u1u2.又在[-1,1]上u0,故lgu1lgu2,得f(x1)f(x2),所以f(x)在[-1,1]上是减函数.(2)因为所以11111|t||t||(t)(t)|66663，11111|t||t||t(t)|66663，1111|t||t|.3663由(1)的结论,有1111f()(|t||t|)f().366317113f()lgf()lg31031071113lg|t||t|lg.106610而，，所以自我纠错绝对值不等式在证明中的应用【典例】求证:abab.1ab1a1b【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是用错了绝对值不等式,不能保证1+|a+b|≥1+|a|,1+|a+b|≥1+|b|成立.正确解答过程如下:【解析】当|a+b|=0时,显然成立.当|a+b|≠0时,所以不等式成立.abab11111ab1ab11abababab1ab1ab1a1b，