人教版高中数学选修45课件22综合法与分析法

二综合法与分析法【自主预习】1.综合法一般地,从_________出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.已知条件2.分析法证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立的_________,直至所需条件为______________________________(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种_________的思考和证明方法.要证的结论充分条件已知条件或一个明显成立的事实执果索因【即时小测】1.关于综合法和分析法说法错误的是()A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法【解析】选D.根据综合法的定义可得,综合法是执因导果法,是顺推法;根据分析法的定义得,分析法是执果索因法,是逆推证法.2.下列对命题“函数f(x)=x+是奇函数”的证明不是综合法的是()A.∀x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+=-f(x),所以f(x)是奇函数B.∀x∈R且x≠0有f(x)+f(-x)=x+(-x)+所以f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数1x11(x)xx11()0xx，C.∀x∈R且x≠0,因为f(x)≠0,所以所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数D.取x=-1,f(-1)=-1+=-2,又f(1)=1+=2,f(-1)=-f(1),所以f(x)是奇函数1xfxx1,1fxxx1111【解析】选D.A,B,C都是从已知条件出发,利用奇函数定义,得出结论的,都是综合法;D不是综合法证明.3.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥022ab22ab()2【解析】选D.因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)=-(a2-1)(b2-1),故要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证(a2-1)(b2-1)≥0.【知识探究】探究点综合法与分析法1.综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的?提示:综合法:A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).分析法:B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知).2.如何理解分析法寻找的是充分条件?提示:用分析法证明,其叙述格式是:要证明A,只需证明B.即说明只要有B成立,就一定有A成立.因此分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件.分析法体现了数学中“正难则反”的原则,也是思维中的逆向思维.逆求(不是逆推)结论成立的充分条件.【归纳总结】1.综合法和分析法的比较(1)相同点:都是直接证明.(2)不同点:综合法:由因导果,形式简洁,易于表达;分析法:执果索因,利于思考,易于探索.2.证明不等式的通常做法常用分析法找证题切入点,用综合法写证题过程.类型一用综合法证明不等式【典例】(2016·大连高二检测)已知a,b,c均为正实数,且(1)证明:(2)求证:2221111.abc1113.abc222444abc1.bca【解题探究】要证明该题,根据题目的形式,你联想到利用哪个公式解决?提示:根据题目给出的形式,可根据基本不等式求证.【证明】(1)由a,b,c均为正实数,且可得相加可得2221111,abc222222112112112,,,ababbcbcacac222111111,abcabbcca即有当且仅当a=b=c=取得等号.故原不等式成立.2222111111111()2()abcabcabbcca32221113()3,abc(2)由a,b,c均为正实数,且可得相加可得即有原不等式成立.2221111,abc2242422a1a122,babab22422422b12c12,,cbcaca222444222abc1111,bcaabc【方法技巧】综合法证明不等式的策略(1)综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下几个:①a2≥0(a∈R);②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有a2+b2≥2ab,≥ab,a2+b2≥(a+b)2;③若a,b为正实数,则特别≥2;④a2+b2+c2≥ab+bc+ca.2ab2（）12abab，2baab(3)在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加、同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.【变式训练】(2015·绥化高二检测)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3a2b+ab2.【证明】因为a≠b,所以a-b≠0,所以a2-2ab+b20,所以a2-ab+b2ab.而a,b均为正数,所以a+b0,所以(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),所以a3+b3a2b+ab2成立.【补偿训练】已知a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,求证:【证明】因为a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,所以所以111abc＜.abc111111111bccaababc＜bccaab222111.abc111abc＜.abc类型二用分析法证明不等式【典例】1.(2016·聊城高二检测)已知a,b,m都是正数,并且ab.用分析法求证:2.设abc,且a+b+c=0,求证:(1)b2-ac0.(2)ama.bmb＞2bac3a.＜【解题探究】1.典例1用分析法证明的关键是什么?提示:a,b,m都是正数,要证成立,只需证明b(a+m)a(b+m)成立,所以关键是证明b(a+m)a(b+m)成立.amabmb＞2.典例2(2)中证明的关键是什么?提示:证明的关键是对式子两端平方后,能得到显然成立的条件.【证明】1.a,b,m都是正数,要证成立,只需证b(a+m)a(b+m)成立,即证ba+bmab+am,即证bmam,即证ba,而ab已知成立.所以成立.amabmb＞amabmb＞2.(1)因为abc且a+b+c=0,所以a0,c0,ac0,故b2-ac0.(2)欲证只需证b2-ac3a2.因为c=-(a+b),只要证明b2+a(a+b)3a2成立.2bac3a＜，也就是(a-b)(2a+b)0.即证(a-b)(a-c)0.因为abc,所以(a-b)(a-c)0成立,从而成立.2bac3a＜【延伸探究】1.若将典例2中条件改为“ab0”,求证:22abababab.8a28b＜＜【证明】要证原不等式成立,只需证即证因为ab0,所以只需证即22ababab2ab4a4b＜＜，222abab()ab().2a2b＜＜ababab2a2b＜＜，ababba11.ab2a2b＜＜，即＜＜只需证因为ab0,所以成立.所以原不等式成立.ba1.ab＜＜ba1ab＜＜2.典例2条件改为设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:ab+bc+ac≤.13【证明】由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.13【方法技巧】用分析法证明不等式的思路及注意点(1)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从要证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式,直至找到已知不等式为止.(2)注意点:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.【变式训练】1.当x≥4时,证明:【证明】欲证只需证即证x－1－x－2＜x－3－x－4.x－1－x－2＜x－3－x－4,,x4x－1x－4＜x－3x－2,x422(x－1x－4)＜(x－3x－2),x4展开整理,得只需证(x-1)(x-4)(x-2)(x-3),即x2-5x+4x2-5x+6,即46,显然成立.所以原不等式成立.(x－1)(x－4)＜(x－2)(x－3),x－1－x－2＜x－3－x－42.若a,b,c均为正数,求证:【证明】要证只要证只要证abc3.bcacab2abc3,bcacab2c911,ab2ab1bcacabcabcabc9,bcacab2只要证(a+b+c)因为(a+b+c)所以原不等式成立.111bcacab（）1119.bcacab2（）3319abbcca3,bcacab211111［abbcca］()32bcacab2自我纠错用分析法证明不等式【典例】已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,求证:11ab2.22【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是证明过程不符合分析法的证明思路.正确解答过程如下:【证明】要证成立,只需证明成立,即只需证明≤1,即即只需证明ab≤成立,11ab2221111ab2(a)(b)4222211(a)(b)2211abab124，14由a,b∈(0,+∞),且a+b=1,知ab≤显然成立,于是≤2成立,不等式得证.2ab1()2411ab22