人教版高中数学选修45课件模块复习课第二课证明不等式的基本方法共39张PPT

第二课证明不等式的基本方法【网络体系】【核心速填】1.比较法(1)作差比较法的依据:若a,b∈R,则______⇔ab;a-b=0⇔a=b;______⇔ab.(2)作商比较法的依据:若a0,b0,则_____⇔ab;=1⇔a=b;_____⇔ab.a1b＞aba1ba-b0a-b0(3)比较法的步骤:作差(商)→变形→判符号(与0(或1)比较大小)→结论.2.综合法推证过程:3.分析法推证过程:4.反证法反设→推理→矛盾→结论.5.放缩法分析待证式的形式特点,适当放大或缩小.【易错警示】(1)利用比较法证明不等式时,最后变形的结果要容易判断其符号,即变形为一个常数,或变形为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和等.(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号,或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.(3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过小”.类型一比较法证明不等式【典例1】设a≥b0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2).因为a≥b0,所以a-b≥0,3a2-2b22a2-2b2≥0.从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤(1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.(2)一般步骤:①作差;②恒等变形;③判断结果的符号;④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形.【变式训练】1.(2016·南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数.求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).当ab0时,bn-an0,a-b0,此时(a-b)(bn-an)0;当ba0时,bn-an0,a-b0,此时(a-b)(bn-an)0;当a=b0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0.综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0.即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).2.(2016·福州高二检测)已知α∈(0,π),求证:2sin2α≤sin.1cos【证明】2sin2α-=4sinαcosα-因为α∈(0,π),所以sinα0,1-cosα0,又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α-≤0,所以2sin2α≤.sin1cossin1cos22sin(4cos4cos1)sin(2cos1),1cos1cossin1cossin1cos类型二综合法证明不等式【典例2】已知a0,a2-2ab+c2=0且bca2,试证明:bc.【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab.又a2+c2≥2ac,且a0,所以2ab≥2ac,所以b≥c.若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b.从而a=b=c,这与bca2矛盾.从而bc.【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向(1)依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.(2)注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当……时,取等号”的理由要理解掌握.(3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.【变式训练】1.(2016·昆明高二检测)已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2.【解题指南】因为a,b是不相等的正实数,所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正数的均值不等式,从而用综合法可证明.【证明】因为a,b是正实数,所以a2b+a+b2≥3=3ab0,(当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立);同理:ab2+a2+b≥3=3ab0,(当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立);223abab223abab所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,(当且仅当a=b=1时,等号成立);因为a≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2.2.若a,b,c都是正数,能确定与的大小吗?【解析】能确定,因为a,b,c都是正数,+(b+c)≥4a,+(a+c)≥4b,+(a+b)≥4c,所以≥2(a+b+c),所以222abcbcacababc224bac24cab2224a4b4cbcacab222abcabc.bcacab224abc类型三分析法证明不等式【典例3】设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10.求证:logac+logbc≥4lgc.【证明】由于a1,b1,故要证明logac+logbc≥4lgc,只要证明≥4lgc.又c1,故lgc0,所以只要证≥4即≥4,因ab=10,故lga+lgb=1,只要证明≥4.(*)lgclgclgalgb11lgalgblgalgblgalgb1lgalgb由a1,b1,故lga0,lgb0,所以0lgalgb≤即(*)式成立.所以,原不等式logac+logbc≥4lgc得证.22lgalgb11()().224【方法技巧】分析法证明不等式的依据,思维方向及适用方法(1)依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)思维方向:分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(3)适用方法:当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.【变式训练】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数y=f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:为偶函数.1f(x)2【证明】要证为偶函数,只需证明其对称轴为x=0,即只需证=0,只要证a=-b,由已知,抛物线f(x+1)的对称轴x=-1与对称轴x=关于y轴对称,所以-1=,所以a=-b,所以为偶函数.1f(x)2b12a2b2ab2ab2ab2a1f(x)2类型四反证法与放缩法证明不等式【典例4】已知0x2,0y2,0z2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.【解析】假设x(2-y)1,y(2-z)1,z(2-x)1均成立.则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)1,…①由于0x2,所以0x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,同理:0y(2-y)≤1,且0z(2-z)≤1,所以三式相乘得0xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1,…②②与①矛盾,故假设不成立.所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.【方法技巧】1.反证法先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而原来的命题结论正确.2.放缩法将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小),使不等式由繁化简,达到证明的目的.【变式训练】1.对于任何大于1的自然数n,证明:【证明】设ab0,m0,则所以（）…11112n1(1)1(1)(1)＞.3572n12ama＜，bmb12k12k12k12k1＞，2k所以所以……4466882n2n4567892n2n1＞3355772n12n13456782n12n（）…（）21111(1)1(1)13572n12n12n1＞，34（）…（）11112n1(1)1(1)1＞.3572n122.设Sn=求证:不等式对所有的正整数n都成立.1223nn1,2nnn1n1S22＜＜【证明】因为且所以对所有的正整数n都成立.222nnn1S12n12n.2＞n1223nn1352n1135S222222222＜＜2n12n1.222nnn1n1S22＜＜