概率积分法

河南理工大学概率积分法主讲：蔡来良Tel：18739109523Email：[e-mail]河南理工大学测绘与国土信息工程学院河南理工大学经过我国开采沉陷工作者20多年的研究，概率积分法预计已成为我国较成熟的、应用最为广泛的预计方法之一。概率积分法是因其所用的移动和变形预计公式中含有概率积分（或其导数）而得名。由于这种方法的基础是随机介质理论，所以又叫随机介质理论法。随机介质理论首先由波兰学者李特威尼申于50年代引入岩层移动研究，后由我国学者刘宝琛、廖国华等发展成为概率积分法。2河南理工大学一、基本原理（一）研究背景和基础在开采沉陷理论研究中，常用两种完全不同的介质模型来模拟岩体：即连续介质模型和非连续介质模型。连续介质模型认为：在移动过程中，介质式中保持其连续性，介质单元之间的联系保持不变；非连续介质模型认为：在移动过程中，介质的连续性受到破坏，介质单元之间原有的联系关系发生变化，单元互相分离并发生相对运动。由于岩体存在一系列原生的和开采引起的次生裂隙面和其它非连续面，所以用非连续介质模型研究开采沉陷问题是适当的。概率积分法为非连续介质理论。3河南理工大学一、基本原理（一）研究背景和基础——概率积分法几种假设（1）假定岩体是各项同性，均质的，不连续介质，即开采引起的地表移动与方向无关，该假定也可被称为等影响原理。（2）承认线性叠加原理。（3）弯曲带内岩体只产生形变而不发生体积变化。（4）当时间趋于无穷久时，移动稳定后的地表下沉体积等于采出体积。4河南理工大学一、基本原理（一）研究背景和基础——颗粒体介质的理论模型基于以上几点假定，李特维尼申应用非连续介质力学中的颗粒体介质力学来研究岩层及地表移动问题，认为开采引起的岩层和地表移动的规律与作为随机介质的颗粒体介质模型所描述的规律在宏观上相似。5河南理工大学颗粒体介质的理论模型6河南理工大学一、基本原理（二）单元下沉首先认识一下几个概念：单元开采：开采厚度和宽度均无穷小的开采被称为单元开采单元盆地：单元开采形成的下沉盆地被称为单元盆地。单元下沉：单元盆地中的下沉被称为单元下沉。单元水平移动：单元盆地中的水平移动被称为单元水平移动7河南理工大学一、基本原理（二）单元下沉在理论模型中，假设介质颗粒为一些大小相同、质量均一的小球，并被装在大小相同的均匀排列的方格内。若下方一个方格中的小球被移走后，由于重力作用，上层的两个相邻方格中的小球滚入这个方格的概率应均是1/2。由此向上类推，就可以得到图（b）下方的颗粒移动概率分布图。选取如图所示的坐标系，则介质内任意一个水平的概率分布可以绘成图（b）上方的概率分布直方图（虚线）。若格子和颗粒无限小，则该直方图趋近于一条光滑的曲线8河南理工大学一、基本原理（二）单元下沉设有如右图所示的岩层剖面和坐标系统，坐标原点通过开采中心，在Z水平上位于处的某段岩石dx的下沉是随机的。岩石各段下沉的概率分布密度应当是坐标x的连续函数。9河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉由假设1：各岩层的岩石在水平方向是均质的，即水平各向同性，则开采中心线两侧岩石法向下沉的概率关于此轴对称。因此可用f(x2)来表示这个对称的概率密度函数，则在该剖面上位于x处一段dx的岩石发生下沉的概率为dxxfdxP)()(210河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉由于假设岩层水平各向同性，可以认为，单元开采在z水平上引起某处一微小岩石的下沉的概率，只与该段岩石到开采中心的距离有关，而与方向无关。即在通过原点的任何纵剖面上，z水平岩石下沉沿水平轴向的密度函数形式上是一致的，不随剖面方向变化。11河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉单元体采出后，使A(x,y,z)点附近某一小块面积ds发生下沉的事件，等于在xoz剖面上x处的一小段岩石dx有下沉发生和在yoz剖面上y处的一小段岩石dy有下沉发生两事件同时发生。因此发生ds下沉事件的概率为此二事件发生概率之积:dsyfxfdyydxfxfdsP)()()()()(222212河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉若过原点取另一组直角坐标系(x1oy1)，则在新坐标系中，使ds1微小面积发生下沉的概率应为：如果微面的面积和位置相同，则应有：故：1212121211)()()()()(dsyfxfdyydxfxfdsP)()(1dsPdsP)()()()(212122yfxfyfxf13河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉如果使新坐标系的ox1经过A点，则：0;12221yyxx)()0()()()(222222yxCffyxfyfxf)()()()(212122yfxfyfxf14河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉C为与x和y无关的参数，这个函数方程，可先微分再积分而解出。分别对x2、y2求偏微分：显然，上两式相等，移项后得：)()0()()()(222222yxCffyxfyfxf)()()()()()()()(22222222222222yxyxfCxyxyxyxfCdxxdfyf)()()()()()()()(22222222222222yxyxfCyyxyxyxfCdyydfxf222222)()(1)()(1dyydfyfdxxdfxf15河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉方程左边是x的函数，右边是y的函数；等式成立的条件是左右两边均与x、y无关，令其等于K：将x2看成是自变量，解此微分方程，得：222222)()(1)()(1dyydfyfdxxdfxf)()(222xKfdxxdf2)(2Kxpexf16河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉式中p为积分常数。显然，远离采区的岩石下沉的概率小；因此从物理意义上来说，K必为负值，另其等于(-h)，带入上式得：同理：单元开采引起A(x,y,z)点附近某一微小面下沉的概率为：2)(2hxpexf2)(2Kxpexf2)(2hypeyfdxdyepdxPyxh)(222)(17河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉由此可见，单元开采影响下，z水平上岩石下沉的概率分布密度为：下面在此基础上来研究平面问题。即研究开采断面为1×1单元而长度无限的条形体所引起的岩石或地表的下沉。)(222),,(yxhepzyxf18河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉取坐标系如右图所示，设开采沿y轴方向为无限远，取一小段,则体积为1×1×的微小分段开采引起岩石在点附近的微面dxdy的下沉概率为：相应的概率密度函数为：dddedxdyepdxdydepddsPhxhyxh22222222])([2)(dxdyehpxh222222),(xhehpzxf19HzW(x)oU(x)xxoydφ河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉由此可见，在平面问题中，岩石下沉的概率密度函数只与x、z有关，而与y坐标无关。则平面问题中单元开采引起的岩石单元下沉盆地表达式为：式中，p和h为待定参量。222xheehpW20河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉由假设4：采空区上方破碎和变形的岩体经过长时间的压实后，在某个高度上形成的最终的下沉盆地的体积应等于采出体积。即：1222dxehpdxWVxhee12hhp/22hp22xheehWhr22/1rxeerW21河南理工大学一、基本原理——(二)单元下沉单元下沉的表达式r称为主要影响半径。22/1rxeerW22河南理工大学基本假设：在单元开采影响下，岩体产生的移动和变形很小，并且是连续分布的；岩体变形后的总体积保持不变。根据弹性力学和上述假设，有：三维：0zyxe（2-9）二维：0zxe（2-10）xzxUex),(zzxWez),(一、基本原理——(二)单元水平移动23河南理工大学式中，Ue(x,z)为岩体内(x,z)点受单元开采影响产生的水平移动，简称单元水平移动。负号是因为We轴与z轴的指向相反。xzxUex),(zzxWez),(把，代入上式得：xzxUe),(zzxWe),(22121),(222zrxzzzeerxdzdrrzzxW而一、基本原理——(二)单元水平移动24河南理工大学所以：)(),(),(zCdxzzxWzxUee，z为积分常数；)(222zCedzdrrxzrxzz2232),(zrxzeerxxzxW又因为：一、基本原理——(二)单元水平移动25河南理工大学所以：)(),(2),(zCxzxWdzdrrzxUezzedzdrrzBzz2)(令：则上式可写成：)(),()(),(zCxzxWzBzxUee一、基本原理——(二)单元水平移动26河南理工大学考虑边界条件：由于模型和单元开采的对称性，岩体内z轴上的各点均不产生x方向的水平移动。即Ue(0,z)=0，则可解得：C(z)=0则得到：xzxWzBzxUee),()(),(对地表来说：z=H，令B＝B(z)＝br，则：)()()()(xibrxiBdxxdWBxUee＝＝对X求导后：2232)(rxerBxxUe即地表单元水平移动表达式。b，预计参数，称为水平移动系数。一、基本原理——(二)单元水平移动27河南理工大学二、半无限开采时地表移动盆地走向主断面的移动和变形的预计几个概念：平面问题——指某一方面开采是无限的（y方向，一般指充分采动），该方向不考虑，研究另一方向的移动。半无限开采——指在平面问题中（y→∞），x方向的开采已使地表达到充分采动。有限开采——在平面问题中，x方向的开采不使地表达到充分采动。28河南理工大学smHxW0x-sW(x)W(x)We(x-s)Ue(x-s)W0U(x)U(x)OxO11234s半无限开采时地表的下沉和水平移动1—煤壁，2—开采单元，3—下沉前顶板原始位置4—下沉后顶板假设位置，W0—顶板下沉量29（一）移动和变形的预计公式如图所示，建立两套坐标系统。采深为Ｈ，开采厚度为ｍ，取坐标原点通过开采边界。由于垮落顶板岩石的碎胀，顶板的最大下沉量不会等于开采厚度，而只是采出厚度的一部分。河南理工大学0mq00W(s)ss实际观测表明，顶板下沉曲线为一条连续曲线。但为了工程应用，可用阶梯形曲线来描述，即：式中ｑ──下沉系数，决定于顶板管理方法；m──煤层开采厚度，mm。单元下沉盆地为：221rxeerW30河南理工大学单元开采引起A点下沉：整个半无限单位厚度开采引起A点下沉：实际厚度m开采，引起顶板下沉mq，考虑煤层倾角后为W0=mqcosα。引起A点下沉：22)(1)(rsxeersxW0)(221)(dserxWrsxu0)(0221)(dserWxWrsx]1)([2)(0xrerfWxW31河南理工大学概率积分函数（可以查表）：x方向的倾斜为下沉的一阶导数：曲率为倾斜的一阶导数，下沉的二阶导数：duexrerfxru022)(2r0rWd)dW(i(2xexxx)2r3022rW2d)W(dk(x)2xxexx32河南理工大学同下沉推导，水平移动U(x)：通过推导：令水平变形为水平移动的一阶导数：dssxUWxUe00)()(2r0WU(2xerBx)rBb2r(0bW)(U(2s)xexbrix)2r20rbW2)((2xxexbrkx)33河南理工大学汇总，当煤层自s=0开采到s=∞时，地表稳定后的移动变形可用下列公式表示：