数学归纳法2

§2.3数学归纳法(2)【学情分析】：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。【教学目标】：（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。【教学重点】：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。【教学难点】：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习回顾数学归纳法的主要步骤及其适用范围(1)（归纳奠基）证明当n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)时命题成立；(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N*且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。那那么，对n≥n0的一切自然数n命题都成立。数学归纳法多用于证与正整数有关的数学问题。二、应用1.例2用数学归纳法证明)(6)12)(1(21*222Nnnnnn证明：（1）当n=1时，左边=1,右边=16)112)(11(1，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即6)12)(1(21222kkkk那么，当n=k+1时，6]1)1(2][1)1)[(1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(212222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkk即当n=k+1时等式也成立。综合(1)(2)可知，等式对任何*Nn都成立。2.例3详细板书证明过程强调：在证明n=k+1时一定要用到假设，整理过程中如何减少运算量，将待证目标式摆到草稿纸上，对应目标化简整理。进一步巩固数已知数列,)13)(23(1,,1071,741,411nn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。解：7274141;4141121SS；13413101103;10310717243SS猜想：13nnSn证明：（1）当n=1时，左边=411S右边=411131，猜想成立。（2）假设当n=k时猜想成立，即13)13)(23(11071741411kkkk那么，]1)1(3][2)1(3[1)13)(23(11071741411kkkk1)1(31)43)(13()1)(13()43)(13(143)43)(13(1132kkkkkkkkkkkkkk所以，当n=k+1时猜想也成立。综合(1)(2)知，猜想对任何*Nn都成立。学归纳法的证题步骤及思路。三、练习巩固P91.练习2.四、知识小结1.适用：与正整数有关的命题重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉2.数学归纳法两个步骤是一个统一的整体，缺一不可，注意在第二步中将归纳假设当做已知条件使用，而且必须运用到“归纳假设”，否则就不是数学归纳法。3.数学归纳法用步骤（1）和（2）的证明代替了无穷多个命题的证明，这里体现了有穷和无穷的辩证关系。通过小结总结所学，突出重点，强调难点五、课后作业1.P91习题2.3A组22.P91习题2.3B组2.3.通过作业反馈，了解对所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难之处六、设计反思数学归纳法的步骤非常清晰，但学生在应用的过程中容易出现如下问题：如何由n=k时成立的归纳假设去推得n=k+1时结论依然成立，要通过仔细观察与分析前后原式发生的变化，不能轻易下结论；归纳假设是数学归纳法解题成功与否的关键，一定要利用上；为充分利用归纳假设，往往要利用“拆”、“添”项的方法“凑”出归纳假设中成立的因子。在教学过程中应给以强调。【练习与测试】：1．使用数学归纳法证明22()nnnN，若不等式成立，则n的取值范围是（）A.2nB.3nC.4nD.5n答案：D解：当n取第一个值5时，命题成立。2．用数学归纳法证明“*)(11312111Nnnnn”，要证明第一步时，左边的式子=。答案：1213413121。3．当*Nn时，求证：3()2nn。证明：（1）当n=1时，左式=32，右式=1，312，原不等式成立。（2）假设当n=k时，原不等式成立，即3()2kk则当n=k+1时，左式=13333()()22222kkkkk132,1,()12kkkk上式即所以n=k+1时结论成立综合（1）（2）原不等式对于任意*Nn均成立。4.用数学归纳法证明：“)12(5312)()2)(1(nnnnnn成立，（*Nn）”，第二步从n=k到n=k+1时，左式有什么变化？答案：左端增加了两项（2k+1）、（2k+2），还少了一项（k+1）。解：当n=k时，左式=)()3)(2)(1(kkkkk2)1)(2kk)(2k(k3)2)(k(k)11)(1)(11()21)(11(,1kkkkkkkkkn左式时当5．已知f(x)是定义在（-∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足()()()fxyyfxxfy。（1）求(1),(1)ff的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由；（3）证明：1*()().(,)nnfanafanNa为不为零的常数。解：（1）∵f(x)对任意x,y,f(x)都有()()()fxyyfxxfy∴1,(11)1(1)1(1),(1)=0xyffff令有1,[(1)(1)](1)(1)(1)(1),(-1)=0xyffff令有（2）∵f(x)对任意x,y,f(x)都有()()()fxyyfxxfy∴,1,()()(1),xtyftfttf令有将f(-1)=0代入得f(-t)=-f(t)∴函数f(x)是（-∞，+∞）上的歌奇函数。证明：（3）用数学归纳法：①当n=1时，左边=f(a1)=f(a)，右边=111()()afafa，等式成立。②假设当n=k时，等式成立，即1()()kkfakafa，则当n=k+1时，有11()()()()()()(1)()kkkkkkkfafaaafaafaafaakafakafa这表明当n=k+1时等式也成立。综合①②可知，对任意正整数，等式1()()nnfanafa成立。6.是否存在实数a,b,c,使得等式)(12)1()1(32212222cbnannnnn对任何正整数n都成立，并证明你的结论。解：假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有cbacbacba3970)24(2122)(614故10113cba于是，对n=1,2,3,下面等式成立，)10113(12)1()1(32212222nnnnnn。（*）下面证明上式对任何正整数n都成立证明：（1）当n=1时，左式4)10113(122,4212右式，左式=右式，所以（*）式成立。（2）假设n=k时（*）式成立，即有)10113(12)1()1(32212222kkkkkk那么，当n=k+1时，]10)1(11)1(3[12)2)(1()241253(12)2)(1()2)(1()53)(2(12)1()2)(1()10113(12)1()2)(1(])1(3221[222222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk左式也就是说，（*）式对n=k+1也成立。综合(1)(2)，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立。