数学人教A版选修41课件25与圆有关的比例线段

-1-五与圆有关的比例线段-2-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握相交弦定理及其应用.2.掌握割线定理、切割线定理及其应用.3.掌握切线长定理及其应用.-3-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.相交弦定理文字语言圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等符号语言☉O的两条弦AB和CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD图形语言作用证明线段成比例或求线段长归纳总结由相交弦定理可得推论:垂直于弦的直径平分这条弦,且该弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.-4-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1】如图,☉O的两条弦AB与CD相交于点E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于()A.1B.2C.3D.4解析:∵AE·EB=DE·EC,∴2EB=4×1.∴EB=2.答案:B-5-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.割线定理文字语言从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等符号语言从☉O外一点P引圆的两条割线PAB和PCD,则PA·PB=PC·PD图形语言作用证明线段成比例或求线段长-6-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做2】如图,P是☉O外一点,PC=4,PD=2,则PA·PB等于()A.2B.4C.8D.不确定解析:∵PA·PB=PC·PD,∴PA·PB=4×2=8.答案:C-7-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.切割线定理文字语言从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项符号语言从☉O外一点P引圆的切线PA和割线PBC,A是切点,则PA2=PB·PC图形语言作用证明线段成比例或求线段长-8-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234名师点拨相交弦定理、割线定理和切割线定理(割线定理的推论)统称为圆幂定理.可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线).两条线段的长的积是常数PA·PB=|R2-d2|,其中d为定点P到圆心O的距离.若点P在圆内,dR,则该常数为R2-d2;若点P在圆上,d=R,则该常数为0;若点P在圆外,dR,则该常数为d2-R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点,另一个是与圆的交点.-9-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做3】如图,P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,过点P的直线l交☉O于点B,C,且PB=4,PC=9,则PA等于()A.4B.6C.9D.36解析:∵PA2=PB·PC=4×9=36,∴PA=6.答案:B-10-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12434.切线长定理文字语言从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角符号语言PA,PB分别与☉O相切于点A,B,则PA=PB,∠OPA=∠OPB图形语言作用证明角相等,线段相等-11-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1243【做一做4】如图,PA,PB分别为☉O的切线,切点分别为A,B,∠P=80°,则∠C=.解析:∵PA,PB分别为☉O的切线,∴PA=PB.又∠P=80°,∴∠PAB=∠PBA=50°.∴∠ACB=∠PAB=50°.答案:50°-12-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.与圆有关的比例线段问题剖析:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其解法大致可分以下几种:(1)直接由相似形得到,即先由已知条件证得两个三角形相似,从而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题.(2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换.(3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,可以把平方项的线段利用中间积进行代换.-13-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果不能直接运用有关定理,可以寻找“中间比”进行代换.与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝,相似三角形中找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效.-14-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系剖析:如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论:(1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO;(2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE;(3)若AC平分∠BAP,则C为△PAB的内心;(4)OA2=OC2=OE·OP=OD2;(6)∠AOP=∠BOP,∠APD=∠BPD.(5)𝐴𝐶=𝐵𝐶,𝐴𝐷=𝐷𝐵,𝑃𝐷⊥AB;-15-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一相交弦定理的应用【例1】如图,过☉O内一点A作直线,交☉O于B,C两点,且AB·AC=64,OA=10,则☉O的半径r=.-16-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解析:如图,作直线OA交☉O于E,F两点,则AE=r-10,AF=r+10.由相交弦定理,得(r-10)·(r+10)=64,解得r=241(负值舍去).故r=241.答案:241反思相交弦定理的结论是线段成比例,也可以看成等式,因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段,又可以建立方程来解决问题.如本题中,利用相交弦定理列出关于半径r的方程.-17-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】如图,☉O内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=14𝑃𝐷,求𝐶𝐷的长.解:设CD=x,则PD=45𝑥,𝑃𝐶=15𝑥,由相交弦定理知PA·PB=PC·PD,即4×4=15𝑥·45𝑥,解得x=10.故CD=10.-18-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二割线定理的应用【例2】如图,已知☉O的割线PAB交☉O于点A和点B,PA=6cm,AB=8cm,PO=10.9cm,求☉O的半径.分析:由于PO既不是☉O的切线,也不是割线,故需将PO延长交☉O于点D,构成圆的一条割线,而OD又恰好是☉O的半径,于是运用割线定理解题即可.-19-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:如图,将PO延长交☉O于D.根据割线定理,可得PA·PB=PC·PD.设☉O的半径为rcm,则6×(6+8)=(10.9-r)(10.9+r),解得r=5.9,即☉O的半径为5.9cm.反思如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线,那么常用到割线定理.本题中,利用割线定理列出关于半径r的方程,进而可求出r的值.-20-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,PB和PD为圆的两条割线,分别交圆于点A,B和点C,D.若PA=5,AB=7,CD=11,则AC∶BD=.-21-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解析:由割线定理,得PA·PB=PC·PD,①即𝑃𝐴𝑃𝐷=𝑃𝐶𝑃𝐵.又∵∠P为公共角,∴△PAC∽△PDB.∴𝐴𝐶𝐵𝐷=𝑃𝐴𝑃𝐷.②又∵PA=5,AB=7,CD=11,∴PB=PA+AB=12.由①式,得5×12=PC(PC+11),解得PC=4或PC=-15(舍去).∴PD=PC+CD=4+11=15.由②式,得𝐴𝐶𝐵𝐷=515=13,即AC∶BD=1∶3.答案:1∶3-22-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三切割线定理的应用【例3】如图,AB切☉O于点B,ACD为割线,E为𝐶𝐷的中点,𝐵𝐸交𝐷𝐶于点𝐹.求证:𝐴𝐹2=𝐴𝐶·AD.-23-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四证明:如图,连接BC,BD.∴∠DBE=∠CBE.又AB是☉O的切线,∴∠ABC=∠CDB.∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB,∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理,可知AC·AD=AB2,∴AF2=AC·AD.反思如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线,那么常用到切割线定理.∵E为𝐶𝐷的中点,-24-五与圆有关的比例线段ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,自圆O外一点P引切线与圆切于点A,M为PA的中点,过M引割线交圆于B,C两点.求证:∠MCP=∠MPB.证明:∵PA与圆