数学人教A版选修41课件本讲整合1

-1-本讲整合-2-本讲整合知识网络专题归纳高考体验-3-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题一证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式,是解决这类问题的基本方法.解决这类问题一般可分为三步:(1)把等积式化为比例式,从而确定相关的两个三角形相似.(2)确定两个相关的三角形的方法是:把比例式横看或者竖看,将两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形.(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件.-4-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三应用1如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC边的垂直平分线EM和AB,CA的延长线分别交于D,E两点,连接AM.求证:AM2=DM·EM.-5-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三提示:将AM2=DM·EM化为𝐴𝑀𝐷𝑀=𝐸𝑀𝐴𝑀,只需证明△AMD∽△EMA即可.证明:∵∠BAC=90°,M是BC的中点,∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.又∵∠BAM+∠MAC=90°,∴∠E=∠BAM.∵∠EMA=∠AMD,∴△AMD∽△EMA.∴𝐴𝑀𝐷𝑀=𝐸𝑀𝐴𝑀.∴𝐴𝑀2=𝐷𝑀·EM.-6-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题二利用相似三角形证明线段相等证明两条线段相等,一般情况下,利用等角对等边或全等三角形的性质来解决.但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法证不出来,或过程比较烦琐,此时可以借助相似三角形的有关比例线段来解决.-7-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三应用2如图,AD,CF是△ABC的两条高线,在AB上取一点P,使AP=AD,再从点P引BC的平行线与AC交于点Q.求证:PQ=CF.提示:利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明.-8-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三证明:∵AD,CF是△ABC的两条高线,∴∠ADB=∠BFC.又∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBF.∴𝐴𝐷𝐶𝐹=𝐴𝐵𝐶𝐵.又∵PQ∥BC,∴∠APQ=∠B,∠AQP=∠ACB,∴△APQ∽△ABC.∴𝑃𝑄𝐵𝐶=𝐴𝑃𝐴𝐵,即𝐴𝑃𝑃𝑄=𝐴𝐵𝐵𝐶.∴𝐴𝐷𝐶𝐹=𝐴𝑃𝑃𝑄.又∵AP=AD,∴PQ=CF.-9-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三应用3如图,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,以AB为边向外作正方形ABDE,连接EC交AB于点P,过点P作PQ∥BC交AC于点Q.求证:PQ=PB.提示:要证明PQ=PB,可以通过证明有关的三角形相似得出比例式,再由等式的性质证明其相等.-10-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三证明:∵PQ∥BC,BC∥AE,∴PQ∥AE.∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE,∴△CPQ∽△CEA.∴𝑃𝑄𝐸𝐴=𝐶𝑃𝐶𝐸.同理可得𝑃𝐵𝐸𝐷=𝐶𝑃𝐶𝐸,∴𝑃𝑄𝐸𝐴=𝑃𝐵𝐸𝐷.而由题意知,AE=DE,∴PQ=PB.-11-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题三平行线分线段的性质应用平行线分线段的相关定理即平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律;主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计算线段的长度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法,其中,平行线等分线段定理是线段的比为1的平行线分线段成比例定理的特例.-12-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三应用4如图,在△ABC中,M是AC边的中点,E是AB边上的一点,且AE=14𝐴𝐵,连接𝐸𝑀并延长交𝐵𝐶的延长线于点𝐷.求证:𝐵𝐶=2𝐶𝐷.-13-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三证明:过点C作CF∥AB交ED于点F.∴𝐶𝐹𝐴𝐸=𝐶𝑀𝑀𝐴.∵AM=CM,∴CF=AE=14𝐴𝐵.∴CF=13𝐵𝐸.∵CF∥AB,∴𝐶𝐹𝐵𝐸=𝐶𝐷𝐵𝐷=13.∴BD=3CD,即BC+CD=3CD.∴BC=2CD.-14-本讲整合知识网络专题归纳高考体验专题一专题二专题三应用5如图,在△ABC中,DE∥BC,DH∥GC.求证:EG∥BH.证明:∵DE∥BC,∴𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵.∵DH∥GC,∴𝐴𝐻𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐺.∴AE·AB=AC·AD=AH·AG.∴𝐴𝐸𝐴𝐻=𝐴𝐺𝐴𝐵,∴𝐸𝐺∥BH.-15-本讲整合知识网络专题归纳高考体验234151(2015·湖北高考,理15)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则𝐴𝐵𝐴𝐶=______.解析:由题意易知△PBA∽△PAC,则得𝑃𝐵𝑃𝐴=𝑃𝐴𝑃𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶.所以PA2=PB·PC,又BC=3PB,所以PA2=4PB2,即PA=2PB,故𝐴𝐵𝐴𝐶=𝑃𝐵𝑃𝐴=12.答案:12-16-本讲整合知识网络专题归纳高考体验234152(2014·广东高考,理15)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上,且EB=2AE,AC与DE交于点F,则△𝐶𝐷𝐹的面积△𝐴𝐸𝐹的面积=_____.解析:因为ABCD是平行四边形,所以AB∥DC,且AB=DC,于是△CDF∽△AEF,且𝐶𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐸=3,因此△𝐶𝐷𝐹的面积△𝐴𝐸𝐹的面积=𝐶𝐷𝐴𝐸2=9.答案:9-17-本讲整合知识网络专题归纳高考体验234153(2013·湖北高考,理15)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则𝐶𝐸𝐸𝑂的值为_____.-18-本讲整合知识网络专题归纳高考体验23415解析:设AD=2,则AB=6,于是BD=4,OD=1.如图,由射影定理得CD2=AD·BD=8,则CD=22.在Rt△OCD中,DE=𝑂𝐷·𝐶𝐷𝑂𝐶=1×223=223,则CE=𝐷𝐶2-𝐷𝐸2=8-89=83,𝐸𝑂=𝑂𝐶−𝐶𝐸=3−83=13.因此𝐶𝐸𝐸𝑂=8313=8.答案:8-19-本讲整合知识网络专题归纳高考体验234154(2013·陕西高考,理15(B))如图,弦AB与CD相交于☉O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=.-20-本讲整合知识网络专题归纳高考体验23415解析:∠C与∠A在同一个☉O中,所对的弧都是𝐵𝐷,则∠C=∠A.又PE∥BC,∴∠C=∠PED.∴∠A=∠PED.又∠P=∠P,∴△PED∽△PAE,则𝑃𝐸𝑃𝐴=𝑃𝐷𝑃𝐸,∴PE2=PA·PD.又PD=2DA=2,∴PA=PD+DA=3,∴PE2=3×2=6,∴PE=6.答案:6-21-本讲整合知识网络专题归纳高考体验234155(2012·课标全国高考,文22)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(1)CD=BC;(2)△BCD∽△GBD.-22-本讲整合知识网络专题归纳高考体验23415证明:(1)如图,连接AF,因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连接AF,所以ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(2)因为FG∥BC,故GB=CF.由(1)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.