数学选修45人教A版课件第二讲23反证法与放缩法

第二讲证明不等式的基本方法2．3反证法与放缩法[学习目标]1.了解反证法和放缩法在证明不等式中的应用．2.掌握用反证法和放缩法证明不等式的具体过程(重点)．3.在具体问题中能合理选择证明不等式的方法，培养综合的数学证明能力(难点)．1．反证法(1)反证法的定义．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．[知识提炼·梳理](2)利用反证法证明不等式，一般有下面三个步骤：第一步，做出与所证不等式相反的假设(反设)．第二步，从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果(归谬)．第三步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不正确，于是原证不等式成立．(3)反证法的使用范围．①结论本身是以否定形式出现的一类命题(结论中出现“不存在”“不可能”等)；②有关结论是以“至多……”或“至少……”的形式出现的一类命题；③关于唯一性、存在性的命题；④结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题．温馨提示(1)一定不要把“假设”写成“设”；(2)必须从否定的结论出发进行推理，即把否定的结论作为推理的条件，否则就不是反证法．2．放缩法把要证的不等式一边适当地放大(或缩小)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：a＋122＋34＞a＋122；将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k（k－1），1k2＞1k（k＋1），1k＜2k＋k－1，1k＞2k＋k＋1(k∈R，k＞1)等．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)反证法可以把“假设”写成“设”．()(2)当结论的反面有多种可能时，只需列出其中一种情况证明．()(3)利用放缩法证明不等式的关键在于放大(或缩小)要适当．()(4)放缩法放大、缩小的限度是唯一的．()解析：由反证法和放缩法易知(1)，(2)，(4)错误．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．答案：C3．设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则()A．M＝1B．M＜1C．M＞1D．M与1大小关系不定解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋210－1＜＝210210＝1，所以M＜1，选B.答案：B4．用反证法证明“2，3，5不可能成等差数列”时，正确的假设是________．答案：2，3，5成等差数列5．A＝1＋12＋13＋…＋1n与n(n∈N＋)的大小关系是______________________．解析：A＝11＋12＋13＋…＋1n≥n项＝nn＝n.答案：A≥n类型1反证法证明不等式(自主研析)[典例1]已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，这与已知的ac＋bd＞1矛盾，所以假设不成立，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．归纳升华1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．3．当遇到命题的结论以“至多”“至少”等形式给出时，一般多用反证法；应注意“至少有一个”“都是”的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”．[变式训练]已知0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.证明：法一：假设x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x)＞1均成立，则三式相乘得xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1，①因为0＜x＜2，所以0＜x(2－x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，同理，0＜y(2－y)≤1，0＜z(2－z)≤1.所以三式相乘得0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1②②与①矛盾，故假设不成立．所以x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.法二：假设x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x)＞1均成立，则x（2－y）＋y（2－z）＋z（2－x）＞3，③而x（2－y）＋y（2－z）＋z（2－x）≤x＋（2－y）2＋y＋（2－z）2＋z＋（2－x）2＝3，④④与③矛盾，故假设不成立，所以原结论成立．类型2放缩法证明不等式[典例2]已知a，b，c∈R＋.求证：ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32.证明：ab＋c＋bc＋a＝a2＋b2＋ca＋bc（b＋c）（c＋a）≥2ab＋ca＋bc（b＋c）（c＋a）＝a（b＋c）＋b（c＋a）（b＋c）（c＋a）＝ac＋a＋bb＋c，①同理，bc＋a＋ca＋b≥ba＋b＋cc＋a，②ca＋b＋ab＋c≥cb＋c＋aa＋b.③因为①＋②＋③得2ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥a＋cc＋a＋b＋cb＋c＋b＋aa＋b＝3，所以ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32.归纳升华1．利用放缩法证明不等式，要根据不等式的特点及已知条件(条件不等式)，慎重地采取措施进行放缩，任何不适当的放缩都会导致推证的失败．2．一定要熟悉放缩法的具体措施及操作办法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式或积式等式子中的各项或某项换以较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的．[变式训练](1)已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＞x＋y＋z；(2)求证：12＜1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜1(n＞1，n∈N*)．证明：(1)因为x＞0，y＞0，z＞0，所以x2＋xy＋y2＝x＋y22＋34y2＞x＋y2，①同理，y2＋yz＋z2＞z＋y2.②因为由①＋②得x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＞x＋y＋z，所以原不等式成立．(2)证明：因为n＞1，n∈N＋，所以1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜1n＋1n＋…＋1n＝1，1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＞12n＋12n＋…＋12n＝12，所以原不等式成立．1．用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完整的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，等等，推导出的矛盾必须是明显的．2．(1)放缩法的关键在于放大(或缩小)要适度．(2)当要证明的不等式中含有分式时，我们把分母放大，则相应的分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．(3)放缩法放大缩小的限度不是唯一的，如果用某种放大的办法可以得到欲证结论，那么比此放大更“精细”的放大就应该更能得到所需结论．但是一般来讲，这种“风险”和“难度”是成正比的，放得越宽，能否证出命题的“风险”越大，但相对放大的“难度”就越低；反之，放大越精细，则能证出最终结论的可能性越大，但是“难度”也相对增大．