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第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法[学习目标]1.理解数学归纳法的原理,能够运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题(重点).2.掌握归纳、猜想、证明的思想方法,提高观察问题、分析问题的能力,形成良好的思维习惯(难点).[知识提炼·梳理]1.定义一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.2.数学归纳法的使用范围数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.温馨提示用数学归纳法证明,关键在于两个步骤要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.”[思考尝试·夯基]1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时恒为1.()(2)式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时恒为1+k.()(3)式子11+12+13+…+12n+1(n∈N*)当n=1时恒为1+12+13.()(4)设f(n)=1n+1+1n+2+…+13n+1(n∈N*),则f(k+1)=f(k)+13k+2+13k+3+13k+4.()解析:(1)当n=1时,恒为1+k,故(1)不正确.(2)当n=1时,恒为1,故(2)不正确.(3)当n=1时恒为1+12+13,故(3)正确.(4)f(k+1)=f(k)+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1,故(4)错误.答案:(1)×(2)×(3)√(3)×2.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N+)”.在验证n=1成立时,左边计算的结果是()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析:左边从1(即a0)起,每项指数增加1,到最后一项为an+1,因此n=1时,左边的最后一项为a2,因此左边计算的结果应为1+a+a2.答案:C3.用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成()A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不对解析:n=k+1时,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2,选C.答案:C4.用数学归纳法证明:“1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,n∈N+”时,若n=1,则左端应为________.解析:当n=1时,左端为1×4=4.答案:45.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n2=n4+n22”时,当n=k+1时左端应在n=k时加上________.解析:等式左边是连续自然数的和,所以当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上:(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.故填(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.答案:(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2类型1用数学归纳法证明恒等式(自主研析)[典例1]用数学归纳法证明12+122+123+…+12n-1+12n=1-12n(n∈N+)证明:(1)n=1时,左边=12,右边=1-12=12,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即12+122+…+12k=1-12k.当n=k+1时,12+122+…+12k+12k+1=1-12k+12k+1=1-12k+1,即当n=k+1时,等式也成立.根据(1)(2),等式对任何n∈N+都成立.归纳升华用数学归纳法证明一个代数恒等式,解题前先要分析清楚等式两边的构成情况.解这类题的关键在于,第二步将式子转化成与归纳假设的等式结构相同的形式——凑假设.然后应用归纳假设,经过恒等变形,得到结论所需要的形式——凑结论.数学归纳法只是一种证明问题的方法,它本身并不包括具体的知识,因此,用数学归纳法证明问题时,要熟练掌握相关基础知识.[变式训练]用数学归纳法证明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n(n≥1,n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=1-12=12,右边=12,命题成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时命题成立,即1-12+13-14+…+12k-1-12k=1k+1+1k+2+…+12k.当n=k+1时,左边=1-12+13-14+…+12k-1-12k+12k+1-12k+2=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1-12k+2=1k+2+1k+3+…+12k+1+12k+2,即当n=k+1时命题也成立.由(1)和(2)知,命题对一切n≥1,n∈N+均成立.类型2用数学归纳法证明整除问题[典例2]用数学归纳法证明(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.证明:①当n=1时,(3×1+1)×71-1=27,能被9整除,所以命题成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时命题成立,即(3k+1)·7k-1能被9整除,那么当n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1=[21(k+1)+7]·7k-1=[(3k+1)+(18k+27)]·7k-1=[(3k+1)·7k-1]+7k(18k+27)=[(3k+1)·7k-1]+9·7k(2k+3).由归纳假设知(3k+1)·7k-1能被9整除,而9·7k(2k+3)能被9整除,则[3(k+1)+1]·7k+1-1能被9整除,即当n=k+1时命题也成立.综合①和②可知对一切的n∈N+,(3n+1)·7n-1都能被9整除.归纳升华1.用数学归纳法证明整除问题,由k过渡到k+1时,先将n=k+1时的原式进行分拆、重组或者添加项等,最终将其变成假设与一个或多个部分的和,其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除,从而由部分的整除性得出整体的整除法,最终证得n=k+1时也成立.2.有关整除的几个结论:(1)如果a能被c整除,那么a的倍数pa也能被c整除;(2)如果a,b能被c整除,那么它们的和或差a±b也能被c整除;(3)一个数能被mn整除,等价于这个数既是m的倍数又是n的倍数.[变式训练]求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈N+).证明:①当n=1时,a2+(a+1)=a2+a+1,可被a2+a+1整除.②假设n=k(k≥1,k∈N+)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,那么当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假设可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除,所以ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除,即n=k+1时命题也成立.由①②可知命题对所有n∈N+都成立.类型3利用数学归纳法证明几何问题[典例3]平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2(n∈N*)个部分.证明:(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1时命题成立.(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即k个圆将平面分成f(k)=k2-k+2个部分.则n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.所以当n=k+1时命题成立.综上(1)(2)可知,对一切n∈N*命题成立.归纳升华1.用数学归纳法证明几何问题时,在解题的过程中常用到一些几何图形的性质和计算公式,因此做题前要回忆这些性质和公式,并在解题时灵活应用.2.在寻找递推关系时,不能仅以两个具体的数量关系来代替全部量间的数量关系,否则会得出错误的递推关系,必须从n的若干特殊值之间的关系去探求具有本质意义的真实关系.[变式训练]用数学归纳法证明:凸n边形的对角线的条数是12n(n-3).证明:(1)当n=3时,12n(n-3)=0,这就是说,三角形没有对角线,故结论正确.(2)假设n=k(k≥3,k∈N*)时结论正确,即凸k边形的对角线有12k(k-3)条,那么当n=k+1时,凸(k+1)边形A1A2A3…AkAk+1的对角线条数由下列三部分的条数相加而得:由归纳假设,凸k边形A1A2A3…Ak的对角线条数有12k(k-3);对角线A1Ak,1条;而顶点Ak+1与另外(k-2)个顶点A2,A3,…,Ak-1可画出(k-2)条对角线.所以凸(k+1)边形的对角线的条数是:12k(k-3)+1+(k-2)=12(k2-3k+2k-2)=12(k2-k-2)=12(k+1)(k-2)=12(k+1)[(k+1)-3].这就是说,当n=k+1时结论也正确.由(1),(2)知,命题结论对n=3起的所有自然数都正确.类型4用数学归纳法解决探究问题[典例4]设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)由已知得S1=a1=2a2-3-4,S2=a1+a2=4a3-12-8,S3=a1+a2+a3=15,解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜测an=2n+1.由Sn=2nan+1-3n2-4n得Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n≥2),当n≥2时,an=Sn-Sn-1,所以两式相减,整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=2n-12nan+6n+12n,建立an与an+1的递推关系(n∈N*);因为当n=1时,a1=3,假设ak=2k+1成立,那么n=k+1时,ak+1=2k-12kak+6k+12k=2k-12k(2k+1)+6k+12k=2k+3=2(k+1)+1,对于n∈N*,有an=2n+1.数列{an}的通项公式为an=2n+1.归纳升华1.解“归纳—猜想—证明”题的关键环节有:(1)准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础;(2)通过观察、分析、比较、联想,猜想出一般结论;(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.2.求解“归纳—猜想—证明”型数列问题的关键是利用递推关系式,准确求出数列的前n项,通过分析归纳,猜想出其通项公式,然后用数学归纳法证明,这是一种解决数列通项公式的重要方法.[变式训练]是否存在常数a,b,c,使得12+22+32+…+n2=an(bn+1)(cn+1)6对一切n∈N+都成立?证明你的结论.解:若存在常数a,b,c使等式成立,将n=1,2,3代入上式,得1=a(b+1)(c+1)6,1+4=2a(2b+1)(2c+1)6,1+4+9=3a(3b+1)(3c+1)6,解得a=1,b=1,c=2,即有12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)6.用数学归纳法证明如下:①当n=1时,左边=1,右边=1×2×36=1,等式成立.②假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)6.当n=k+1时,12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6.即当n=k+1时,等式成立.由①②知,等式对任何n∈N+都成立.故存在a=1,b=1,c=
本文标题:数学选修45人教A版课件第四讲41数学归纳法
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