期末总复习课件空间向量高二数学课件

楚水实验学校高二数学备课组空间向量（期末复习）一、空间向量及其线性运算空间向量的加法、数乘运算满足下列运算律：(1)加法交换律：a+b=b+a；(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；(3)数乘分配律：λ(a+b)=λa+λb。空间向量基础知识空间向量：是指具有大小和方向的量叫做向量．空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量二、共线向量与共面向量定理1空间向量a、b平行的充分必要条件是存在实数λ，使a=λb。(b≠0)定理2如果向量a、b不共线，则向量p与a、b共面的充分必要条件是存在实数对x,y，使p=xa+yb.推论1a,b,c共面存在不全为零的实数x，y，z，使xa+yb+zc=0。推论2若a,b,c不共面，且有实数x，y，z，使xa+yb+zc=0，则x=y=z=0。定理3如果向量a,b,c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc(共面向量定理）(共线向量定理）(空间向量基本定理）三、空间向量的数量积运算定义实数|a||b|cosa,b叫做向量a,b的数量积，记做a·b，即a·b=|a||b|cosa,b．空间向量的性质：（1）a·e=|a|cosa、e(e为单位向量)；（2）a⊥ba·b=0(a,b为非零向量)；（3）当a、b同向时，a·b=|a||b|，当a、b反向时,a·b=-|a||b|，特别地a·a=|a|2；（4）向量的数量积满足下列运算律：λ(a·b)=a·(λb)a·b=b·a；a·(b+c)=a·b+a·c（5）|a·b|≤|a|·|b|．四、空间直角坐标系与空间向量的坐标运算1、空间直角坐标系从空间某一定点O引三条两两垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz.点O为坐标原点，x轴，y轴，z轴叫坐标轴，每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。xyzo右手坐标系在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k,则对于空间任一向量a，总存在唯一的有序数组（x，y，z）使a=xi+yj+zk,则有序数组（x,y,z)叫做向量a在空间坐标系O-xyz中的坐标记为a=（x，y，z）.2、向量的坐标表示对于空间任意一点A（x，y，z），向量OA的坐标为点A的坐标，即OA=（x，y，z）3、向量的运算和性质的坐标表示表示111(,,)Axyz222(,,)Bxyz（1）设212121(,,)ABxxyyzz则（3）设),,(),,,(222111zyxbzyxa则212121111212121),,(),,(zzyyxxbazyxazzyyxxba（2）两点间距离公式221221221)()()(zzyyxxdAB奎屯王新敞新疆2121212||zyxaa（4）模长公式（5）夹角公式222222212121212121||||coszyxzyxzzyyxxbababa（6）平行的条件：对应坐标成比例垂直的条件：x1x2+y1y2+z1z2=0五、直线的方向向量与平面的法向量及其应用空间直线的方向向量：ee0e直线l上的向量(≠)以及与共线的非零向量叫做直线l的方向向量。平面的法向量：如果表示非零向量的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记作⊥α.此时，我们把向量叫做平面α的法向量.eene六、空间角及距离公式•线线•线面•面面求夹角：位置关系判断：|cos|cosba|cos|sinna|cos||cos|21nn平行垂直l1与l2l1与α1α1与α2n2e2e1设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为，，两个平面α,β的法向量分别为,,则：n1e1e2∥e1e2⊥e1n1⊥n1n2⊥e1n1∥n1n2∥4.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若的坐标为.aACaABaa则向量且,,,3||2.已知与平行，则a+b=_____3.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（）A(1,7,5)B(1,-7,5)C(-1,-7,5)D(1,-7,-6)),3,2(ba)2,,4(ab课堂基础训练)512(，，)29292(，，)111(，，1.已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则的坐标是_______，AB中点坐标是______=____AB||AB)111(，，或30-7C8.设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则＝________,ab7.若的夹角为.bababa与则,7||,2||,3||6、已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），若与夹角是钝角，则x取值范围是_____abab5.已知向量，，a与b的夹角为____(0,2,1)a(1,1,2)b2)3106()6(，，30（2）若求OA与BC夹角的余弦值．例题1．如图，在空间四边形OABC中，E、F分别是OC与AB的中点，（1）求证：ABCEFO）（OCOBOAEF218OA6AB5BC45OAC60OAB向量法24AC8654√2BACDB1A1C1D1例2.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,(1)求证；C1C⊥BD；CDCC1请给出证明.(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？证:(2)连接AC,因ABCD是菱形,所以,BD⊥AC.所以BD⊥平面ACC1A所以,BD⊥A1C.所以,A1C⊥平面C1BDCA1⊥C1D.CA1·C1D=0(CB+CD+CC1)·(CD-CC1)=0由(1),BD⊥CC1,(CB+CD+CC1)·(CD-CC1)=0BACDB1A1C1D1设CD=CB=1,CC1=x,CB·CD-CB·CC1+CD2-CC12=0则cosθ-xcosθ+1-x2=0所以x=1评注:用向量法研究空间线面关系,在平面的法向量不能直接给定的情况下,可转化为平面内的向量与直线的方向向量的关系去讨论.xyz坐标法例1．在棱长为2的正方体AC1中，P、Q分别是BC，CD上的点，且PQ=．2（1）求证：确定点P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P；（2）当B1Q⊥D1P时，求二面角C1-PQ-A的大小.D1HQPABCDA1B1C1解(1)如图，分别以AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设CP=a(0a),则CQ=22-a2故P(2,2-a,0),Q(2-,2,0)2-a2∵B1(2,0,2)、D1(0,2,2),∴a=1∴B1Q=(-,2,-2),D1P=(2,-a,-2)2-a2则B1Q·D1P=-2-2a+4=0，2-a2D1HQPABCDA1B1C1例1．在棱长为2的正方体AC1中，P、Q分别是BC，CD上的点，且PQ=．2（1）求证：确定点P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P；（2）当B1Q⊥D1P时，求二面角C1-PQ-A的大小的余弦.解(1)∴当P，Q分别是BC，CD的中点时，B1Q⊥D1P．-x+y=0y+2z=0(2)当B1Q⊥D1P时，由（1）得a=1,∴PQ=(-1,1,0),PC1=(0,1,2)设平面C1PQ的法向量为n=(x,y,z)则由n·PQ=0与n·PC1=0，得∴可取n=(2，2，-1)又m=(0,0,2)是平面APQ的一个法向量则二面角C1-PQ-A的大小的余弦为-31∴cosm,n=-31xyzD1C1B1A1ABCD在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，AA1＝6，求(1)异面直线BD1和B1C所成角的余弦值；（2）BD1与平面AB1C的夹角．奎屯王新敞新疆练习：例2.已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.3ACDBO1OAO1OCBDzxyMNABCDP练习：1、如图，正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，点M，N分别在PA，BD上，且（1）求证；MN⊥AD；（2）求证；MN∥平面PBC；PAPMBDBN31==（3）求MN与PC所成的角．zyx2.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．3、已知菱形ABCD，其边长为2，∠BAD=60O，今以其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得空间四边形ABCD（如图），求：(1)AB与平面ADC的夹角；(2)二面角B-AD-C的大小．CADBzyx