偏微分方程期末考试试题(06)

黑龙江科技学院考试试题第一套课程名称：偏微分方程数值解法课程编号：24014110适用专业（班级）：数学共1页命题人：潘晓丽教研室主任：第1页一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.二、（10分）求一维波动方程22222,,0,0,,0tuuaxttxuxxuxx的通解.三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解2,0,,0sin,0costtxxtuautxuxxuxx四、（10分）计算积分32xJxdx.五、（15分）设1,1nm，证明dxxpxmdxxpxnmnmnm1011101六、（15分）用分离变量法求解20,0,0,00,,00,0,,0ttxxtuauxltuxuxxutult七、（10分）解固有值问题''0,''0yylxlylyl八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.黑龙江科技学院考试试题答案第一套课程名称：偏微分方程数值解法课程编号：24014110适用专业（班级）：数学共1页命题人：潘晓丽教研室主任：第1页一、解：波动方程：222,uauftxt热传导方程：2,uauftxt位势方程：ufx……………………….5分其中12,,,nxxxx，a为常数，,ftx及fx为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u是时间变量t和空间坐标变量12,,,nxxxx的函数，在位势方程中，未知函数u是空间坐标变量12,,,nxxxx的函数，而与时间t无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。……………………….15分二、解：首先判别方程的类型，20a………………………2分即此方程在整个全平面上都是双曲型的。特征方程为：2220dxadt22200dxadtdxadt特征曲线为12xatcxatc………………………6分做变量替换，令xatxat，由链式法则得0u通解ufgfxatgxat……………………….10分三、解：atxatxdaatxatxtxu2121,……………………….5分atxatxdaatxatxtxucos21sinsin21,atxatxaatxsinsin21cossin……………………….10分atxaatxsincos1cossin……………………….15分四、解：由分部积分法及微分关系1'vvvvxJxJ，有341413122114xJxdxxxJdxxxJxxJdx3232111044'xJxJdxxJxJdx……………………….5分3210048xJxJxJdx……………………….8分321084xxJxxJxC……………………….10分五、证明：11100''mmnnnnxpxdxxxpxpxdx……………………….5分1111110101001mmmmnnnnxpxmxpxdxxpxmxpxdx……….10分1111001mmnnmxpxdxmxpxdx……….15分移项有dxxpxmdxxpxnmnmnm1011101六、解：设tTxXtxu,分离变量XXTaT2代入方程组得00002TaTlXXXX………..3分解固有值问题000lXXXX得2][lnn3,2,1n；xlnxXnsin………..6分将2][lnn代入02TaT得tlanDtlanCtTnnnsincos………..9分所以xlntlanDtlanCtxunnnsin]sincos[,叠加得原解xlntlanDtlanCtxutxunnnnnsin]sincos[,,11代入初值条件0221sin0,0,11xlnCxuxunnnnxxlnDlanxunntsin0,1得系数0nCanlxdxlnxlanlDnln2221021sin2………..13分所以得原问题的解xlntlananltxunnsinsin21,12221………..2分七、解：题中方程是斯-刘方程，其中1,0,1kxqxx，又题中两端边界条件都是第二类，故0，而且有零固有值0，相应固有函数为1yx。当0时，设20，方程的通解为cossinyxAxBx……….3分将此式代入边界条件，并消去公因子，得sincos0sincos0AlBlAlBl（1）为使A,B不全为0，必须系数行列式sincossin20sincoslllll故22,,1,2,22nnnnnnll……….7分把n代入（1）有sincos022nnAB这个方程的一个非零解是cossin22nnAB，与n相应固有函数为coscossinsin2222cos2nnnxnnxyxllnxll……….10分八、Sturm-Liouville定理：若,,kxqxx满足：在,ab上,',kxkxx连续；当,xab时，0,0,0kxxqx，而,ab至多是kxx及的一级零点；qx在,ab上连续，而在端点至多有一级极点。则S-L固有值问题0,,ddykxqxyxyaxbdxdxab两端点加五种边界条件之任一……….2分的固有值和固有函数有下列重要性质：1、可数性：存在可数无穷多个固有值12n，limnn。与每一个固有值相应的线性无关的固有函数有且只有一个。……….4分2、非负性：0n，有零固有值的充要条件是：0qx，且,ab两端都不取第一、三类边界条件，这时相应的固有函数为常数。………6分3、正交性：设mn是任意两个不同固有值，则相应的固有函数myx和nyx在,ab上带权x正交，即有0bmnaxyxyxdx……….8分4、固有函数系nyx是完备的。……….10分