喝饮料品数学(建模论文)

喝饮料品数学湖南省株洲市北京师范大学株洲附属学校C0812班晏阳天指导老师：董宏亮摘要：喝饮料,品数学。在日常生活中我们经常遇到用空瓶换汽水问题,喝完了凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝,从中引发了我对问题的深入思考。如果用3个空瓶换一瓶新的汽水,当原有瓶数X为偶数时,当原有瓶数为X时,总共能喝到多少瓶汽水呢？如果现有X瓶汽水，每Y个空瓶可以换一瓶新的汽水。总共又能喝到多少瓶汽水呢？这个问题的探讨与解决，对于我们在日常生活中如何使开支与效益达到最优化等问题,具有一定的指导意义。关键词:饮料瓶数空瓶兑换优化一.问题的发现日常生活中,我们经常遇到过空瓶换汽水问题。喝完了凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝，那简直是炎炎夏日里的一种享受。如果没有经历过，那么这道小学时的奥林匹克数学题你应该见到过：现有10瓶汽水，每三个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢？我曾经问过不少人这道题，他们给的结果通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10+3+1=14瓶）当我提示他们剩下的两个空瓶仍然能够利用的时候，有些聪明人就给出了正确答案：借来一个装满饮料瓶，喝完后，连同那剩下的两个空瓶一起还给人家。所以共喝了15瓶。这就是这道题的正确答案。最近我突然想到了这个问题，它能不能被深入地推广一下呢？于是我就开始了对这个论文题目的思考与研究。二.建立数学模型我列出了原有饮料瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：原有饮料瓶数X实际能喝到的瓶数1123344657697108129131015注意观察：看下方整理过的列表发现什么了吗？原有饮料瓶数X实际能喝到的瓶数2346698121015113457710913根据不完全归纳的情况，我得出这样一个重要的规律：当原有偶数瓶饮料时，实际能喝到原来1.5倍瓶数的饮料。当原有奇数瓶时，则实际喝到原来1.5倍瓶数取整数的饮料。但这只是不完全归纳，如何从正面直接推导呢？三.数学模型的分析与问题的解决又经过我细致的观察，发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用文章开头那种“借瓶子”的方法再喝一瓶饮料。这个发现太重要了。我可以这样处理那些剩余的空瓶：分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有空瓶”的汽水（只可以喝，但不能得到空瓶）。这样就可以正面对待问题了。当原有瓶数X为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组0.5X个正好分完。每组又是一瓶。共喝掉X+0.5X=1.5X瓶。当原有瓶数X为奇数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组0.5（X-1）个，还剩一个空瓶，浪费掉。共喝X+0.5（X—1）=1.5X-0.5瓶。其实取整之后结果是和上述整理过的表格一一对应的。这正验证了上文中不完全归纳得出的结论。通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢？如果是4个、5个或更多空瓶换一瓶饮料，又会怎么样呢？四.数学模型的进一步推广现有X瓶汽水，每Y个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢？由上文的推导过程来看，如果是Y个空瓶可以换一瓶饮料，那么每拥有（Y—1）个空瓶，就可以用借瓶子法得到一瓶饮料。所以当喝完X瓶饮料得到X个空瓶之后，又能喝到[X/（Y—1）]瓶饮料。总共就是[X+X/（Y—1）]瓶饮料(若除不尽时则向下取整数).整理该式子，就得到了最后的结论：可以喝到[XY/（Y—1）]瓶饮料(若除不尽则向下取整数)。五.论文总结：问题：现有X瓶饮料，每Y个空瓶可以换一瓶新的饮料。问总共能喝到多少瓶饮料呢？答：总共可以喝到[XY/（Y—1）]瓶饮料(若除不尽则向下取整数)这篇文章的题目是我在坐长途汽车时偶然想到的。在百般无聊的时候，我给我父亲出了此论文开始时那样的一道问题，却引发了我们长时间的讨论。这种题目的类型不止用于换饮料当中。啤酒、酱油、醋……生活中的这类问题也并不少见。而细致地进行处理，周密地进行思考，就可以从容地应对那些看似复杂的问题。这个问题的探讨与解决，对于我们在日常生活中如何处理使开支与效益达到最优化具有一定的指导意义。参考文献：[1]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京:高等教育出版社.2005[2]庞军:对边际分析和最优化原理地探讨[J].商业时代，2005[3]赵胜民:经济数学.科学出版社，2005[4]陈宝林：最优化理论与算法[M].北京:清华大学出版社,2005致谢：在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师，他在论文的写作过程中给我提出了许多宝贵的建议，给予了许多无私的支持和帮助，感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友,在此一并致以诚挚的谢意。最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！北京师范大学株洲附属学校初中部C0812班晏阳天2010-4-28