高一数学人教A版必修二课件第二章点直线平面之间的位置关系234

2.3.3直线与平面垂直的性质2．3.4平面与平面垂直的性质学案·新知自解1．认识和理解空间中线面、面面垂直的性质．2．能够灵活应用线面、面面垂直的性质定理证明相关问题．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．直线与平面垂直的性质文字语言垂直于同一个平面的两条直线_______符号语言a⊥αb⊥α⇒_______图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线平行a∥b平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则____________垂直于______的直线与另一个平面______符号语言α⊥βα∩β＝l____________⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒______垂直；②作面的垂线a⊂αa⊥l一个平面内交线垂直线面[化解疑难]1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的联系2.剖析平面与平面垂直的性质定理(1)定理成立的条件有两个①两平面垂直；②直线在其中一个面内且与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直或线线垂直．(3)定理还说明了若两个平面垂直，过其中一个平面内一点垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内．(4)解题过程中遇到面面垂直的问题时，通常利用此定理转化为线面垂直.1．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．垂直解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.答案：A2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝n，直线l⊂α，直线m⊂β，则下列说法正确的个数是()①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l∥n，则l∥β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α.A．0B．1C．2D．3解析：由线面平行的判定定理知②正确；由面面垂直的性质定理知①③正确．答案：D3．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．故②④正确．答案：②④教案·课堂探究直线与平面垂直的性质定理的应用多维探究型如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.B1C∩AC＝C.所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.[归纳升华]线面垂直的性质定理提供了证明两直线平行的重要依据，也是由垂直关系转化为平行关系的重要方法.1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，所以ON綊12CD綊12AB，所以ON∥AM，又MN∥OA，所以四边形AMNO为平行四边形，所以ON＝AM.因为ON＝12AB，所以AM＝12AB，所以M是AB的中点．平面与平面垂直的性质定理的应用多维探究型如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB.证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB.[归纳升华]利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.2.(2015·河源市高二期中)在三棱锥P－ABC中，平面PBC⊥平面ABC，AB＝AC，E，F分别为BC，BP的中点．求证：(1)直线EF∥平面PAC；(2)平面AEF⊥平面PBC.证明：(1)因为E，F分别是BC，BP的中点，所以EF∥PC.又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.(2)在△ABC中，因为AB＝AC，E为BC中点，所以AE⊥BC.因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，所以AE⊥平面PBC.又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.线面、面面垂直的综合问题分层深化型如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.[归纳升华]直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系，当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化，要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.[同类练]☆1.(2015·宿州市高二期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：AQ∥平面CEP；(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.解析：(1)在矩形ABCD中，因为AP＝PB，DQ＝QC，所以AP綊CQ.所以AQCP为平行四边形．所以CP∥AQ.因为CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，所以AQ∥平面CEP.(2)因为EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，所以AQ⊥EP.因为AB＝2BC，P为AB的中点，所以AP＝AD.连接PQ，则四边形ADQP为正方形．所以AQ⊥DP.又EP∩DP＝P，所以AQ⊥平面DEP.因为AQ⊂平面AEQ，所以平面AEQ⊥平面DEP.[变式练]☆2.如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)连接PG，BG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG，∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[拓展练]☆3．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE.证明：(1)连接AC，AF，BF.∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AC，∴△SAC为直角三角形.又∵F为SC的中点，∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线，∴AF＝12SC.又∵四边形ABCD是正方形，∴CB⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA，∴CB⊥平面SAB，∴CB⊥SB，∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线，∴BF＝12SC，∴AF＝BF.∴△AFB为等腰三角形．∵E为AB的中点，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)在Rt△SAE和Rt△CBE中，∵SA＝CB，AE＝BE，∴Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC为等腰三角形．∵F为SC的中点，∴EF⊥SC.又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，∴EF⊥平面SCD.又∵EF⊂平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.谢谢观看！