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4.1.2圆的一般方程学案·新知自解1.了解圆的一般方程的特点,熟练掌握圆的两种方程的互化.2.会根据已知条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问题.3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.圆的一般方程1.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当________________时,该方程叫作圆的一般方程.2.圆的一般方程下的圆心和半径:圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为____________,半径长为________________.D2+E2-4F>0-D2,-E2D2+E2-4F2求动点的轨迹方程的方法求动点的轨迹方程,就是根据题意建立动点的坐标(x,y)所满足的关系式,并把这个方程化成最简形式,如果题目中没有坐标系,那么就要先建立适当的直角坐标系.求轨迹方程的一般步骤为:[化解疑难]1.求轨迹方程应注意的问题(1)根据题目中的条件的不同,应选择建立适当的直角坐标系,使其有利于解题;(2)因为除个别情况外,化简过程都是同解变形过程,所以证明时步骤可以不写,如果有特殊情况,可适当予以说明.2.轨迹与轨迹方程的区别与联系求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事.求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程,然后由方程研究轨迹图形;求动点的轨迹方程有时由已知条件先判断出轨迹图形,然后由图形求方程.“轨迹”是图形,要指出形状、位置、大小(范围)等特征;“轨迹方程”是方程(等式),不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围.1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)解析:圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为--42,-62,即(2,-3).答案:D2.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的条件是()A.14m1B.m1C.m14D.m14或m1解析:此方程表示圆的条件是D2+E2-4F0,即(4m)2+(-2)2-4·5m0,解得m14或m1.答案:D3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的一般方程为________.解析:设圆的方程为x2+(y-b)2=1.把(1,2)代入得12+(2-b)2=1,解得b=2,所以方程为x2+(y-2)2=1,即x2+y2-4y+3=0.答案:x2+y2-4y+3=0教案·课堂探究圆的一般方程的概念辨析自主练透型若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.解析:(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<15,故m的取值范围为-∞,15.(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=1-5m.[归纳升华]形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:①由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆;②将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.1.下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和半径.(1)x2+y2+x+1=0;(2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0);(3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).解析:(1)∵D=1,E=0,F=1,∴D2+E2-4F=1-4=-3<0,∴方程(1)不表示任何图形.(2)∵D=2a,E=0,F=a2,∴D2+E2-4F=4a2-4a2=0,∴方程表示点(-a,0).(3)两边同除以2,得x2+y2+ax-ay=0,D=a,E=-a,F=0,∴D2+E2-4F=2a2>0,∴方程(3)表示圆,它的圆心为-a2,a2,半径r=12D2+E2-4F=22|a|.待定系数法求圆的方程多维探究型已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.解析:方法一:设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C在圆上,∴1+16+D+4E+F=0,4+9-2D+3E+F=0,16+25+4D-5E+F=0,∴D=-2,E=2,F=-23,∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5.方法二:∵kAB=4-31+2=13,kAC=4+51-4=-3,∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形,∴外心是线段BC的中点,坐标为(1,-1),r=12|BC|=5.∴外接圆方程为(x-1)2+(y+1)2=25.[归纳升华]圆的一般方程和标准方程的选择(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F.2.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.解析:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵所求圆过点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2),∴F=0,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0,解得D=-8,E=6,F=0.∴所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,∴-D2=4,-E2=-3,圆心为(4,-3),半径r=12D2+E2-4F=5.轨迹问题多维探究型等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.解析:设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得x-42+y-22=4-32+2-52,整理得(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以10为半径的圆,又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一条直径的两个端点.因为点B,C不能重合,所以点C不能为(3,5).又因为点B,C不能为一条直径的两个端点,所以x+32≠4,且y+52≠2,即点C不能为(5,-1).故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,-1)),它的轨迹是以点A(4,2)为圆心,10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.[归纳升华]1.一般地,求轨迹方程就是求等式,就是找等量关系,把等量关系用数学语言表达出来,再进行变形、化简,就会得到相应的轨迹方程,所以找等量关系是解决问题的关键.2.求曲线的轨迹方程要注意以下三点:(1)根据题目条件,选用适当的求轨迹方程的方法.(2)看准是求轨迹,还是求轨迹方程,轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形).(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点.3.(1)已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离的比为12的点的轨迹,求出曲线的方程.(2)已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),求线段MN的中点P的轨迹方程.解析:(1)设点M(x,y)是曲线上任意一点,则由题意知|MO||MA|=12.由两点间的距离公式知,上式用坐标表示为x2+y2x-32+y2=12.两边平方并化简,得曲线方程x2+y2+2x-3=0.将方程配方,得(x+1)2+y2=4.∴所求曲线是圆心为C(-1,0),半径为2的圆.(2)∵A,B是圆C直径的两个端点,∴圆心C(1,2),半径r=3-12+3-22=5,∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.设P(x,y),M(x0,y0),∵M,N的中点是P,∴x0=2x-4,y0=2y+2,∵M在圆C上,∴(2x-5)2+(2y)2=5,即x-522+y2=54.故线段MN的中点P的轨迹方程是x-522+y2=54.谢谢观看!
本文标题:高一数学人教A版必修二课件第四章圆与方程412
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