高一数学课件向量2高一数学课件

§5.1预备知识:向量的内积一、向量内积的定义及性质在解析几何中有两向量的数量积的概念,即设x,y为两向量,则它们的数量积为:x·y=|x||y|cos.设向量x,y的坐标表示式为x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3),则x·y=x1y1+x2y2+x3y3.,||232221xxxx.|||||arccosyxyx由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念:定义1:设有n维向量,,2121nnyyyyxxxx[x,y]=x1y1+x2y2+···+xnyn,称[x,y]为向量x与y的内积.说明1.n(n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广,但是没有3维向量直观的几何意义.说明2.内积是向量的一种运算,如果都是列向量,内积可用矩阵记号表示为:[x,y]=xTy.我们把两向量的数量积的概念向n维向量推广:记内积的运算性质设x,y,z为n维向量,为实数,则(1)[x,y]=[y,x];(2)[x,y]=[x,y];(3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(4)[x,x]0,当且仅当x=0时有[x,x]=0.二、向量的长度及性质称||x||为n维向量x的长度(或范数).,],[||||22221nxxxxxx定义:令向量的长度具有下述性质:(1)非负性:||x||0,当且仅当x=0时有||x||=0;(2)齐次性:||x||=||||x||;(3)三角不等式:||x+y||||x||+||y||.||||||||],[cosyxyx,2262318.4||||||||],[arccosyxyx单位向量及n维向量间的夹角(1)当||x||=1时,称x为单位向量.(2)当||x||0,||y||0时,称为n维向量x与y的夹角,规定0.例1:求向量=(1,2,2,3)与=(3,1,5,1)的夹角解:[x,y]=13+21+25+31=18,,183221||||2222x,361513||||2222y所以故,向量x与y的夹角为:三、正交向量组的概念及求法1.正交的概念2.正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组.当[x,y]=0时,称向量x与y正交.由定义知,若x=0,则x与任何向量都正交.3.正交向量组的性质定理1:若向量组1,2,···,r是n维正交向量组,则1,2,···,r线性无关.证明:设有数1,2,···,r,使得:11+22+···+rr=0由于1,2,···,r是两两正交的非零向量组,当ij时,[i,j]=iTj=0,当i=j时,[i,i]=iTi0,则有用iT(i=1,2,···,r)左乘上式得,1iT1+2iT2+···+riTr=iT0=0,iiTi=0.即从而得,1=2=···=r=0,所以1,2,···,r线性无关.4.向量空间的正交基定义:若正交向量组1,2,···,r是向量空间V的一组基,则称1,2,···,r是向量空间V的一组正交基.例2:已知三维向量空间中两个向量正交.试求3使1,2,3构成三维空间的一组正交基.1=(1,1,1)T,2=(1,–2,1)T即.02],[0],[3213232131xxxxxx解之得解:设3=(x1,x2,x3)T0,且分别与1,2正交.则有[1,3]=[2,3]=0,x1=–x3,x2=0..1013213xxx若令x3=1,则有,101,121,111321构成三维空间的一组正交基.则5.规范正交基.212100,212100,002121,0021214321eeee例如定义:设n维向量组e1,e2,···,er是向量空间VRn的一组正交基,且都是单位向量,则称e1,e2,···,er是向量空间V的一组规范正交基.).4,3,2,1,(10],[jijijieeijji由于所以,e1,e2,e3,e4为R4的一组规范正交基..1000,0100,0010,00014321同理可知也为R4的一组规范正交基(即单位坐标向量组).设e1,e2,···,er是向量空间V的一组规范正交基,则V中的任一向量a可由e1,e2,···,er线性表示,设表示式为:a=1e1+2e2+···+rer,用eiT左乘上式,有eiTa=ieiTei=i,即i=eiTa=[a,ei],这就是向量在规范正交基中的坐标(即线性表示系数)的计算公式.利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的坐标,因此我们常取向量空间的规范正交基.6.求规范正交基的方法已知1,2,···,r是向量空间V的一组基,求V的一组规范正交基,就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,···,er,使e1,e2,···,er与1,2,···,r等价,这样一个问题称为把基1,2,···,r规范正交化.(1)正交化设a1,a2,···,ar是向量空间V的一组基.,],[],[1112122bbbabab,],[],[],[],[222321113133bbbabbbbabab··················取b1=a1,111122221111],[],[],[],[],[],[rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab则b1,b2,···,br两两正交,且b1,b2,···,br与a1,a2,···,ar等价.(2)单位化,取,||||,,||||,||||222111rrrbbebbebbe则e1,e2,···,en是向量空间V的一组规范正交基.上述由线性无关向量组a1,a2,···,ar构造出正交向量组b1,b2,···,br的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.例3:用施密特正交化方法,将向量组a1=(1,1,1,1),a2=(1,-1,0,4),a3=(3,5,1,-1)正交规范化.解:先正交化.1112122],[],[bbbabab)1,1,1,1(1111411)4,0,1,1(),3,1,2,0(取b1=a1=(1,1,1,1),222321113133],[],[],[],[bbbabbbbabab)3,1,2,0(1414)1,1,1,1(48)1,1,5,3(),0,2,1,1(再单位化.得规范正交向量组如下:),143,141,142,0()3,1,2,0(141||||222bbe).0,62,61,61()0,2,1,1(61||||333bbe),21,21,21,21()1,1,1,1(21||||111bbe例4:设,014,131,121321aaa试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.bbbaab1211222||||],[12164131;11135bbbabbbaab2223111333|||],[||||],[解:先正交化.取b1=a11113512131014.1012,121||||111bbe,12161||||222bbe,11131||||333bbe.10121再单位化.得规范正交向量组如下:故,e1,e2,e3即为所求.例5:已知,1111a求一组非零向量a2,a3,使a1,a2,a3两两正交.解:非零向量a2,a3应满足方程a1Tx=0,即x1+x2+x3=0..110,10121它的基础解系为:把基础解系正交化,即合所求.亦即取,12a.],[],[1112123a其中[1,2]=1,[1,1]=2,于是得,1012a.12121101211103aa1a3a2b1c2b2c3c31c32b3几何解释,||||],[||||]||||,[12112111122bbbabbbbacb2=a2–c2,c2为a2在b1上的投影向量,即b1=a1,b3=a3–c3,c3为a3在b1,b2所确定的平面上的投影向量,由于b1b2,故c3等于a3分别在b1,b2上的投影向量c31及c32之和,即32313ccc,||||],[||||],[2222312113bbbabbba四、正交矩阵与正交变换定理:A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交.若n阶方阵A满足ATA=E,即A-1=AT,则称A为正交矩阵.证明:由于Eaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnn212222111211212221212111ATA=EEnTnTT,,,2121.,,2,1,01njijijiijjTiEnTnTnTnnTTTnTTT212221212111性质1:正交变换保持向量的长度不变..||||||||xxxPxPxyyyTTTT定义:若P为正交阵,则线性变换y=Px称为正交变换.证明:设线性变换y=Px为正交变换.则有性质2:设A为正交矩阵,则A-1=AT也为正交矩阵,且|A|=1或–1.性质3:设A,B都是正交矩阵,则AB也为正交矩阵.例6:判别下列矩阵是否为正交阵.,1213121121312111.9794949491989498912解(1):考察矩阵的第一列和第二列.,021311)21()21(1所以(1)不是正交矩阵.由于解(2):注意到,该矩阵为对称矩阵,则有100010001T7444184819174441848191所以(2)是正交矩阵.例6:验证矩阵2121000021212121212121212121P解:P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,所以P是正交矩阵.是正交矩阵.五、小结1.将一组基规范正交化的方法:先用施密特正交化方法将基正交化,然后再将其单位化.2.A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立:(1)A-1=AT;(2)ATA=E;(3)A的列向量是两两正交的单位向量;(4)A的行向量是两两正交的单位向量.思考题求一单位向量,使它与下列向量正交.a1=(1,1,–1,–1),a1=(1,–1,–1,1),a1=(2,1,1,3),思考题解答.0320012222dcbadcbadcbadcba设所求向量为x=(a,b,c,d),),263,261,0,