高三数学课件三角函数的概念高三数学课件

一、角的基本概念1.角的概念角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始的射线叫角的始边,旋转终止位置的射线叫角的终边,射线的端点叫角的顶点.按逆时针方向旋转形成的角叫正角,按顺时针方向旋转形成的角叫负角,如果一条射线没作任何旋转,称它形成了一个零角.角的三要素:顶点、始边、终边.2.角的分类(1)正角、负角、零角；(2)象限角、象限界角(象间角、轴线角)(1)与角终边相同的角的集合:3.几类特殊角的表示方法{|=k·360+,k∈Z},或{|=2k+,k∈Z}.(2)象限角、象限界角(轴线角)①象限角第一象限角:k360ºk360º+90º,kZ;(2k2k+,kZ)2第二象限角:k360º+90ºk360º+180º,kZ;(2k+2k+,kZ)2第三象限角:k360º+180ºk360º+270º,kZ;(2k+2k+,kZ)23第四象限角:k360º+270ºk360º+360º,kZ.2(2k+2k+2,kZ或2k-2k,kZ)23或k360º-90ºk360º,kZ.②轴线角x轴的非负半轴:=k360º(2k)(kZ);x轴的非正半轴:=k360º+180º(2k+)(kZ);y轴的非负半轴:=k360º+90º(2k+)(kZ);2y轴的非正半轴:=k360º+270º(2k+)或=k360º-90º(2k-)(kZ);232x轴:=k180º(k)(kZ);y轴:=k180º+90º(k+)(kZ);2坐标轴:=k90º()(kZ).2k(1)角度制(2)弧度制等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(1rad)的角.(3)弧度与角度的相互换算4.角的度量(4)扇形的弧长公式扇形的面积公式1=rad≈0.01745rad.1801rad=()≈57.30=5718´.180l=r||S=l·r=r2·||1212一个圆周的的弧所对的圆心角叫做1度(1)的角.3601二、任意角的三角函数1.定义.P(x,y)yxorsin=;cos=;tan=;yrxryxcot=;sec=;csc=;xyrxryxyoPMAxyoPMA2.三角函数的符号3.三角函数线yxosincsctancotcossec+三角函数正值歌正弦一、二全是正,余弦偏在一、四中;正切、余切却不然,斜插一、三两象限.定义与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线.或一全二正弦,三切四余弦.TT即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略),第一象限第二象限第三象限第四象限区域2第一或第三象限第二或第四象限注:已知角所在象限,应熟练地确定所在的象限如下表:2xyoxyoxyoxyoxyo1212222232324242如果用1,2,3,4分别表示第一、二、三、四象限角,则,,,分布如图:12223242熟记右图,解有关问题就方便多了.1.写出与-1035º终边相同的角,并指出其中属于[-4,4]的角.2.判断=-5,=-是第几象限的角.19933解:∵-1035º=-3360º+45º,∴与-1035º终边相同的角为k360º+45º(kZ).用弧度制表示上面的角为2k+(kZ),4令-4≤2k+≤4(kZ)得k=-2,-1,0,1,4∴其中属于[-4,4]的角是-,-,,.74415944解:∵02-5,2∴-5是第一象限的角.∵212-≈1.68(,),21993319933∴-是第二象限的角.典型例题3.角终边经过点P(x,-2)(x0),且cos=x,求sin+cot的值.36解:设|OP|=r,则r=x2+2,又cos=x,则36x2+2x=x,36当x=-10时,解得x=10.当x=10时,sin=-,66cot=-5,∴sin+cot=-;65+66∴sin+cot=.65-66sin=-,66cot=5,4.已知为锐角,证明:1sin+cos≤2.证:由已知可在角的终边上任取一点P(x,y)(x0,y0),则sin=,x2+y2ycos=.x2+y2x∴sin+cos==.x2+y2x+yx2+y2(x+y)2∵x0,y0,x2+y2(x+y)2∵==1+1,x2+y2x2+y2+2xyx2+y22xyx2+y2(x+y)2又=≤=2,x2+y2x2+y2+2xyx2+y2x2+y2+x2+y2x2+y2(x+y)2∴1≤2.∴1sin+cos≤2.∴1≤2.x2+y2(x+y)25.求下列函数的定义域:(1)y=tanx+cotx;(2)y=sinx+tanx.解:(1)使tanx有意义的x的取值集合是={x|x,kZ};2k使cotx有意义的x的取值集合是{x|xk,kZ},{x|xk+,kZ},2故所求函数的定义域是:{x|xk+,kZ}∩{x|xk,kZ}2(2)要使原函数有意义,则sinx≥0,xk+,kZ.22k≤x≤2k+,kZ,xk+,kZ.2即故原函数定义域为{x|2k≤x≤2k+,且x2k+,kZ}.26.设是第二象限的角,试问:-,-,+分别是第几象限的角?解:∵是第二象限的角,∴-是第三象限角,∴2k+2k+,kZ.2∴-2k---2k-,kZ,2-2k--2k+,kZ,22k++2k+2,kZ.23-是第一象限角,+是第四象限角.解法2∵角-的终边与角的终边关于x轴对称,∴由是第二象限的角知-是第三象限的角;∵角-的终边与角的终边关于y轴对称,∴由是第二象限的角知-是第一象限的角;∵角+的终边是角终边的反向延长线,∴由是第二象限的角知+是第四象限的角.7.已知在第二象限,试确定sin(cos)cos(sin)的符号.解:∵在第二象限,∴-1cos0,0sin1.∵--1,1,22∴-cos0,0sin.22∴sin(cos)0,cos(sin)0.∴sin(cos)cos(sin)0.故sin(cos)cos(sin)的符号为“-”号.8.若的终边与函数y=-2|x|的图象重合,求的各三角函数值.解:∵的终边与函数y=-2|x|的图象重合,∴是第三或第四象限的角.若是第三象限的角,取终边上一点P(-1,-2),则r=5.从而sin==-5,cos==-,tan==2,yr25xr55yxcot==,sec==-5,csc==-.xyrxry1252若是第四象限的角,取终边上一点P(1,-2),则r=5.从而sin==-5,cos==,tan==-2,yr25xr55yxcot==-,sec==5,csc==-.xyrxry1252课后练习1.已知角的终边上一个点P的坐标为(4t,-3t)(t0),求的正弦、余弦和正切值.解:由已知有x=4t,y=-3t,∴|OP|=r=5|t|.当t0时,sin====-,yr-3t5|t|-3t5t35cos====,xr4t5|t|4t5t45tan===-;yx-3t4t34当t0时,sin====,yr-3t5|t|-3t-5t35cos====-,xr4t5|t|4t-5t45tan===-.yx-3t4t342.写出适合下列条件的x的集合:(1)|cosx||sinx|;(2)|sinx|+|cosx|1.解:由三角函数线易得所求集合分别为:(1){x|k-xk+,kZ};44(2){xR|x,kZ}.2k3.设O是坐标原点,角的终边上有点M,|OM|=2,角的终边上有点N,|ON|=4,P为MN的中点,求以OP为终边的角的正切值.解:依题意可设M(2cos,2sin),N(4cos,4sin),则P(cos+2cos,sin+2sin).当cos+2cos0时,当cos+2cos=0时,tan不存在.tan=.sin+2sincos+2cos4.化简:-.tansintan+sintansintan-sin解:设P(x,y)是角终边上的任意一点,令r=x2+y2.yxyr则原式=-yxyr-yxyryxyr+y2yr-yxy2yr+yx=-y2-(r2-x2)y(r-x)=yr-xyr+x=-x2+y2-r2y(r-x)==0.∴在第二或第四象限.∵-1cos0,0sin1.又--1,1,22∴-cos0,0sin.22∴sin(cos)0,cos(sin)0.∴sin(cos)cos(sin)0.故sin(cos)cos(sin)的符号为“-”号.5.若+=0,试判断sin(cos)cos(sin)的符号.|cos|cos|sin|sin解:由已知得|sincos|+sincoscos|sin|=0,∴sincos≤0,且cos|sin|0,∴sincos0.当在第二象限时,同理当在第四象限时,sin(cos)cos(sin)的符号为“+”号.