高三数学课件抽象函数高三数学课件

研究性学习“五步曲”课题：2.7抽象函数数学复习教学中的一、创设情景—激发兴趣抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如由正比例函数f(x)=kx(k0)所具备的特性：f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y)可抽象为f(x+y)=f(x)+f(y)。写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的（填写一个）。特殊函数抽象函数y=kx(k0)f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)·f(y)f(x·y)=f(x)+f(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)二、问题引动—加强双基1、定义在R上的函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x、y∈R都成立，则f(x)一定是（）（A）偶函数（B）奇函数（C）既奇又偶函数（D）非奇非偶函数2、定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在上(0,+∞)是增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)0的的取值范围是__________.分析一（赋值法）令x=y=0，得f(0)+f(0)=f(0)。所以f(0)=0，再令y=-x有：f(x)+f(-x)=f(0)=0。所以f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函数。选（B）。分析二（借助模型函数分析）符合条件的函数可以为f(x)=kx，故选（B）。分析一由条件知f(x)在(-∞,0)也是增函数，且f(-1)=-f(x)=0。所以：当x0时f(x)f(1)得x1；当x0时f(x)f(-1)得-1x0，故满足f(x)0的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞)。分析二（数形结合）由题中条件可分析画出草图如图，由图象可知x的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞)。方法：对解决抽象函数的客观性问题时，常可采用赋值法、借助模型函数分析法、直接推证法和数形结合法等。三、自主探究—培养能力3、设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x0，y0都满足。（1）求f(1)的值。（2）若f(2)=1，解不等式。（不等式（组）法）解（1）令x=y0，则f(1)=f(x)-f(x)=0，即f(1)=0。令x=y=1，则f(1)=f(1)-f(1)，即f(1)=0。（2）因为f(2)=1，f(2)=f(4\2)=f(4)-f(2)，所以f(4)=2，又所以由得f[(x+3)x]f(4)又f(x)在(0,+∞)上是增函数，则：0x1原不等式的解集为{x|0x1}。4、已值函数f(x)定义域为R，当x0时，f(x)0，且对一切x、y∈R，都有f(x-y)=f(x)-f(y)。求证：（1）f(x)是R上的增函数；（2）f(2x-1)+f(1-x)f(x2+1)。证明：（1）(定义法):任取x1、x2∈R且x1x2，(2)（分析法）:欲证f(2x-1)+f(1-x)f(x2+1)，即证f(x2+1)-f(2x-1)-f(1-x)0,即证f[(x2+1)-(2x-1)-(1-x)]0,即证f(x2-x+1)0,而x2-x+1=恒成立，由条件知f(x2-x+1)0成立，所以原不等式成立。则x2-x10,由已知f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)0，即知f(x)是R上的增函数。5、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈,都有f(x1+x2)=f(x1)•f(x2)，且f(1)=a0（1）求；（2）证明f(x)是周期函数；（3）记(2001年全国•22）。分析（1）已知f(x1+x2)=f(x1)•f(x2)及f(1)=a0，欲求，令欲求，令求解需要开偶次方，先需判断函数值的符号。当x∈[0，1]时，令四、拓广引申—学会创新(赋值法)分析（2）f(x)是定义在R上的偶函数f(-x)=f(x),f(x)图象关于直线x=1对称f(x)=f(2-x),∴f(-x)=f(2-x),换元即可。分析（3）由（2）知：f(x)的周期是2，2n也是它的周期，即；再利用（Ⅰ）的结果及其推理方法求得解（2）∵f(x)是偶函数∴f(-x)=f(x),∵f(x)图象关于直线x=1对称∴f(x)=f(2-x),∴f(-x)=f(2-x),用x替换(-x)得f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期函数，2是它的一个周期。（迭代法）五、归纳总结—不断提高抽象函数考察知识基本方法单调性、奇偶性、周期性、对称性、不等式、极限等。赋值法、模型函数分析法、数形结合法和直接推证法等。数学思想具体与抽象思想、一般与特殊思想、数形结合思想等。抽象函数题的解法：探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，常用的方式是解方程（组）、解不等式（组），寻找并运用函数的周期性与奇偶性、单调性，数形结合，先猜后证等等。