高三数学课件欧拉公式和球高三数学课件

多面体欧拉公式、球一、多面体欧拉公式１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑不变性。V是顶点数，F是面数，E是棱数。多面体和正多面体：棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几何体，若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。两个面的公共边叫做多面体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．否则叫非凸多面体．一般的，每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例如，正方体就是一种正多面体。一个多面体至少有四个面，多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五面体，正方体是六面体。）二、球的概念和性质（1）球的概念定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球。（2）球的元素球心：球中形成球的半圆的圆心叫做球心，一个球用表示它的球心的字母来表示，如球O，OR球的半径：连接球心和球面上的任意一点的线段叫做球的半径，如半径OA、OB等AB球的直径：连接球面上的两点并且经过球心的线段叫做球的直径。如直径AB球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间。用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质：性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面。αABOCD性质2：球心到截面的距离与球的半径R及截面的半径，有如下关系式：①当d=0时，截面过球心，此时截面的面积最大，此圆叫球的大圆，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．②当d=R时，平面与球相切．③与球心距0dR平面与球面截得的圆，叫小圆．不过球心的截面截得的圆叫球的小圆．球面的距离在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离．OPR如图中的PR的长度就是Ｐ、Ｑ两点的球面距离。地球上的经纬线当把地球看作一个球时，经线是球面上从北极到南极的半个大圆，赤道是一个大圆，其余纬线都是一个小圆。本初子午线地轴BAO某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的半平面与本初子午线（00经线）和地轴确定的半平面所成的二面角度数，此角实则为二面角。即AB或∠AOB的度数某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，此角实则为线面角。地轴AOP纬度-P点的纬度，也是PA∠POA的度数球的表面积和体积。球的表面积和体积都是球半径R的函数：1、已知一个凸多面体的各面都是四边形：求证：F=V-22、一个简单多面体的棱数可能是7吗？试用欧拉公式进行分析。3、若地球的半径为R，地面上两点A、B的纬度均为北纬450，又A、B两点的球面距离为R，则A、B两点的经度差为（）A、450B、600C、900D、300C（）B6、（1999.全国）在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2.求球的表面积。BAOO1O2