高三数学课件简易逻辑反证法高三数学课件

一、命题的有关概念1.命题可以判断真假的语句.“非p”形式的复合命题与p的真假相反;2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”.3.简单命题不含逻辑联结词的命题.4.复合命题含有逻辑联结词的命题.5.复合命题真值表“p或q”形式的复合命题当p与q同时为假时为假,其它情形为真;“p且q”形式的复合命题当p与q同时为真时为真,其它情形为假.p非p真假假真pqp或q真真真真假真假真真假假假pqp且q真真真真假假假真假假假假二、命题的四种形式逆否命题:若q,则p.原命题:若p,则q;逆命题:若q,则p;否命题:若p,则q;互逆互逆互否互否否命题若p则q逆否命题若q则p原命题若p则q逆命题若q则p互为逆否否逆为互注:互为逆否命题的两个命题同真假.三、反证法1.一般步骤①反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;②归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.2.命题特点①结论本身以否定形式出现;②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式;④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.3.特殊结论的反设原结论词大于()小于()都是都不是至少n个至多n个反设词不大于(≤)不小于(≥)不都是至少有一个是至多n-1个至少n+1个原结论词有无穷多个存在唯一的对任意x,使…恒成立反设词只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个x,使…不成立4.引出矛盾的形式①由假设结论q不成立,得到条件p不成立;②由假设结论q不成立,得到结论q成立;③由假设结论q不成立,得到一个恒假命题;④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.典型例题用反证法证明下列各题:1.某班有49位学生,证明:至少有5位学生的生日同月.3.设f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.124.设三个正数a,b,c满足条件++=2,求证:a,b,c中至少有两个不小于1.b1a1c12.若p1p2=2(q1+q2),证明关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.证:假设至多有4位学生的生日同月,即:生日在1,2,…,12月的学生人数都不超过4人.则该班学生总数m≤412=48人,与该班有49位学生的条件矛盾,∴假设不成立.∴至少有5位学生的生日同月.1.某班有49位学生,证明:至少有5位学生的生日同月.证:假设这两个方程都没有实根,则△10且△20,从而有:△1+△20.又∵△1+△2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2)=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0,与△1+△20矛盾.即△1+△2≥0,∴假设不成立.故这两个方程至少有一个有实根.2.若p1p2=2(q1+q2),证明关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.证:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全小于,即:12-1+a+b1212-4+2a+b1212-9+3a+b1212-a+b-①3212-2a+b-②9272-3a+b-③2192173212由①式得-a-b,与②式相加得-4a-2④与③式相加得-6a-4⑤9272由②式得-2a-b,显然④与⑤矛盾,∴假设不成立.故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.123.设f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.124.设三个正数a,b,c满足条件++=2,求证:a,b,c中至少有两个不小于1.b1a1c1①a,b,c三数均小于1,证:假设a,b,c中至多有一个数不小于1,这包含两种情况:即0a1,0b1,0c1,则:与已知条件矛盾;1,1,1,b1a1c1∴++3,b1a1c1也与已知条件矛盾.②a,b,c中恰有两数小于1,不妨设0a1,0b1,而c≥1,则1,1,b1a1c1∴++2+2,b1a1c1∴假设不成立.∴a,b,c中至少有两个不小于1.课堂练习1.已知abc0,求证:三个方程ax2+bx+=0、bx2+cx+=0与a4c4cx2+ax+=0中至少有一个方程有实数根.b42.对于函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),当x[-1,1]时,|f(x)|的最大值为M,求证:M≥.123.方程x2-mx+4=0在[-1,1]上有解,求实数m的取值范围.1.证:设三个方程的判别式分别为△1,△2,△3,由△1+△2+△3=b2-ac+c2-ba+a2-cb=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥012即△1+△2+△3≥0.故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.∴△1,△2,△3中至少有一个非负.2.对于函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),当x[-1,1]时,|f(x)|的最大值为M,求证:M≥.12|f(-1)|=|1-a+b|.12证:假设M,则|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|,121212121212∴|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|+2+=2,即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2.①又∵|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2,即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥2,与①式矛盾.∴假设不成立.12∴M≥.3.方程x2-mx+4=0在[-1,1]上有解,求实数m的取值范围.解:先考虑x2-mx+4=0在[-1,1]上无解时m的取值范围.包含两种情况:①方程x2-mx+4=0无实数解;②方程有实数解,但解不在[-1,1]上.设f(x)=x2-mx+4,则①等价于△=m2-16＜0;②等价于:△≥0;-1;2mf(-1)0.△≥0;1;2mf(1)0.或-1≤≤1;△≥0;2mf(-1)0;f(1)0.或解得实数m取值的集合A=(-5,5).故所求实数m的取值范围是:CRA=(-∞,-5]∪[5,+∞).