高中数学人教A版选修11课件232抛物线的简单几何性质课时2

2.4.2抛物线的简单几何性质(2)2.4抛物线利用探照灯、汽车前灯的反光曲面等生活中的实物进行新课导入。在前一节课学习抛物线的基础上，继续学习抛物线的通径和焦半径，直线与抛物线的位置关系等等.激发学生的数学应用意识.运用类比的思想，类比椭圆、双曲线的性质学习抛物线的通径和焦半径，直线与抛物线的位置关系．例1是关于抛物线的证明问题；例2是探寻直线与抛物线的交点个数问题，运用根的判别式法；例3运用了设而不求和点差法。方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。抛物线的通径和焦半径1.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔2.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。xyO3.相交（一个交点，两个交点）.直线与抛物线的位置关系问题1：直线与抛物线有怎样的位置关系？1.相离；2.相切；与双曲线的情况一致把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离问题2：如何判断直线与抛物线的位置关系？通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA焦点弦焦点弦公式：),(11yx下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。B),(22yx12pxx方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）xyOABDFl例1、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考:22,以抛物线的对称轴为轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系。设抛物线：的方程为证明xypx,2),,2(0020xypyOAypyA的方程为则直线的坐标为点2px抛物线的准线是.02ypyD的纵坐标为联立可得点.222),0,2(200ppypxyyAFpF方程为的所以直线的坐标是因为点.02ypyB的纵坐标为联立可得点轴。所以xDB//xyOFABD例2.已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?y2=4x分析：用解析法解决这个问题，只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.2124ykx,yx,由方程组解：由题意，设直线l的方程为y-1=k(x+2).(1)当k=0时，由方程①得y=121144yyx,x.把代入得114,(,).这时直线与抛物线只有一个公共点l2201621k,kk.当时方程的判别式为①21021012I,kk,k,k.（）由即解得或112,k,k,,.,.于是当或时方程只有一个解从而方程组只有一个解这时直线与抛物线只有一个公共点l①21021012II,kk,k.（）由即解得1102,kk,,.,.于是当,且时方程有两个解从而方程组有两个解这时直线与抛物线有两个公共点l①21021012III,kk,k,k.（）由即解得或112,k,k,,.,.于是当或时方程没有实数解从而方程组没有解这时直线与抛物线没有公共点l①112k,k,,.当或时直线与抛物线没有公共点l1102k,k,k.当或或时，直线与抛物线只有一个公共点l1102kk,.当，且时直线与抛物线有两个公共点l综上，我们可得：变式训练：一个顶点在坐标原点,焦点在x轴上抛物线截直线2x-y-4=0所得弦长为,求抛物线的方程.35当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m≠0)(x2=my(m≠0)),可避免讨论直线与抛物线交点为为解：由题设抛物线方程,2mxy),(),(2211yxByxA、2122122212214)1)()(||xxxxkyyxxAB（016)16(404222xmxyxmxy由20165344)416(2122mm364mm或.36422xyxy或所求抛物线方程为例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，求这个正三角形的边长．分析：如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则＝2px1，＝2px2，21y22y又|OA|＝|OB|，所以x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0，所以(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0，因为x10，x20,2p0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由于AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°，所以y1x1＝tan30°＝33，而y21＝2px1，所以y1＝23p，于是|AB|＝2y1＝43p.故这个正三角形的边长为43p.本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明．A3.（2013·北京高考）直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A.43B.2C.83D.6232．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A．8B．16C．32D．61BC直线与抛物线的位置关系⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线的对称轴平行(重合);相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线与抛物线的对称轴不平行(重合);相离:直线与抛物线无公共点.⑵直线与抛物线的位置关系的判断.把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离课后练习课后习题