高中数学人教A版选修11课件312导数的概念

3.1.2导数的概念导数的概念内容：利用导数的概念求导数应用求函数在某处的导数求函数在某点附近的平均变化率本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化率的重要性。在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。平均变化率)(xf一般的，函数在区间上的平均变化率为],[21xx其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。复习：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求ｔ＝2时的瞬时速度？2我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当△ｔ＜0时，在2之前；当△ｔ＞0时，在2之后。△ｔ＜0时2＋△ｔ△ｔ＞0时2＋△ｔ2,22,2,.ttv计算区间和区间内平均速度可以得到如下表格△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,0,2,22,13.1.tt我们发现当趋近于时即无论从小于的一边还是从大于一边趋近于时平均速度都趋近于一个确定的值,||,2.,213.1/.tvttms从物理的角度看时间间隔无限变小时平均速度就无限趋近于时的瞬时速度因此运动员在时的瞬时速度是..,,.lim,11302113220定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt１、函数的平均变化率怎么表示？000x=xyfxxxfxy我们称它为函数＝在＝处的导数，记作：或定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即导数的作用：在问题2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；在问题1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率.导数可以描绘任何事物的瞬时变化率由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.一差、二商、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.求函数在某处的导数例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(1)(1)ΔΔffxy解：2Δ3(1)3x263ΔΔ()xx26Δ)Δ(ΔΔΔ3xxxxyΔ63x'00(1)limlim(6ΔΔΔ3)6xxyxfx例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(1Δ1)Δ()yffx解：22(1)(1)[(1)()]ΔΔ1xx2()ΔΔ3xx2ΔΔΔ(3Δ)Δyxxxx平均变化率Δ3x'00(1)limΔlim(3)ΔΔ3xxxxyf例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.(3)(3)ΔΔsftf解：22(3)3(33Δ)t2ΔΔ()6tt2()6ΔΔΔΔΔstttt6Δt'0Δ0ΔΔΔΔ(3)limlim(6)6ttsftt'1(1)2|2).xfy（或表示成'233(2)|.44xfy（或表示成）(1)求函数y=x2在x=1处的导数;1yxx(2)求函数在x=2处的导数.000:,'|1,.2xxyxxxyx已知函数在处附近有定义且求例的值200:,解yxxx.1)())((0000000000xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211limlim00000xxxxxyxx.1,2121,21|'000xxyxx得由000'0(2)()lim1,()hfxhfxhfx0设f(x)在x=x附近有定义，且求的值。01:'()2fx答案,根据导数的定义xfxfxy22.'6f和'26,2hhf解：在第和第时原油温度的瞬时变化率就是xxx152721527222,3742xxxxx,33limlim2,00'xxyfxx所以.'56f同理可得0026,35.2,3/;6,5/.hhhChhCh在第与第时原油温度的瞬时变化率分别为与它说明：在第附近原油温度大约以的速率下降在附近原油温度大约以的速率上升0'0,.fxx一般地反映了原油温度在时刻附近的变化情况计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。这说明:在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。1.求物体运动的瞬时速度：(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度(3)求极限;svt00()().limlimxxssttsttt2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率(3)求极限yx'00()limxyfxx必做题:1.如果质点A按照规律23st运动,则在3t时的瞬时速度为.2.函数1yxx在1x处的导数等于.3.设函数()fx3ax,若'(1)3f,则a.18031(1)3f8cm/s(1)2f选做题:1.设函数()fx可导,则0(1)(1)lim3xfxfx.2.质点M按规律223st做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在2t时的瞬时速度,并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.3.设函数()fx可导,且满足条件0(1)(1)lim12xffxx,求(1)f