高中数学人教A版选修11课件321几个常用函数的导数

第3章导数及应用3.2.1几个常用函数的导数几个常用函数的导数内容：根据导数的定义求四个常用函数的导数应用根据导数定义求出函数的导数求曲线在某点处的切线方程本课主要学习根据导数定义求出几个常用函数的导数,利用地球脉动视频引入新课,以“问题引导，探究交流”为主，新知识是学生在已有知识的基础上探究而来，例题的处理非常灵活，变式训练设计合理，过渡有水到渠成之感，整堂课下来充实流畅.在讲述利用导数求切线方程时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过2个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，有利于对不同的学生进行因材施教。一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬间变化率是0000()()limlimxxfxxfxyxx，我们称它为()fx在点0xx处的导数，记为()fx，或0|xxy，即：0000()()()limlimxxfxxfxyfxxx.1.导数的定义是什么？曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线的斜率．3.求函数)(xfy的导数的一般步骤是什么？（1）求函数的改变量y()()fxxfx；（2）求平均变化率yx()()fxxfxx；（3）取极限，得导数y=()fxxyx0lim=0()()limxfxxfxx．简称:一差、二商、三极限.2.导数的几何意义是什么？地球的变幻—导数与函数的变幻地球脉动函数y=f(x)=c的导数y=cyxO，因0xccxxfxxfxy00'limlim0.0xxyyx所以y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.从几何的角度理解：从物理的角度理解：函数y=f(x)=x的导数，因为1xxxxxxfxxfxy.11limlim'00xxxyy所以y=xyxOy=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.从几何的角度理解：从物理的角度理解：函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxfxxfxy22因为xxxxxx2222xx2.22limlim'00xxxxyyxx所以y=x2yxOy=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明:当x0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢;当x0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.从几何的角度理解：从物理的角度理解：若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.函数y=f(x)=的导数x1xxxxxxfxxfxy11因为，xxxxxxxxxx21.11limlim'2200xxxxxyyxx所以画出函数的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.xy121-1-2-2-112xy1．四个常用函数的导数：（1）()yfxc的导数0y；（2）()yfxx的导数1y；（3）2()yfxx的导数2yx；（4）1()yfxx的导数21yx．2．求函数导数的步骤：（1）求函数的改变量)()(xfxxfy；（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(；（3）得导数y=()fxxyx0lim．3．函数的导数的不同角度意义的解释：（1）几何意义的解释是：曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线的斜率；（2）物理意义的解释是：物体运动在某一时刻的瞬时速度．例1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?解：函数2yx的导数因为()()2()22yfxxfxxxxxxx，所以y=xyx0lim0lim22x．同理可求得函数3yx的导数3y；函数4yx的导数4y如图，画出它们的图象，（1）从图象上看，它们的导数分别表示各条直线的斜率；（2）在这三个函数中，4yx增加得最快，2yx增加得最慢；（3）函数(0)ykxk增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加的越快，k越小，函数增加的越慢.函数(0)ykxk减少的快慢与k有关系，即与函数导数的绝对值有关系，k越大，函数减少的越快，k越小，函数减少的越慢．21-1-2-2-112xyy=xy=2xy=3xy=4x1()fxx()yfx(1,1)例2．已知函数，求曲线在点处的切线方程．(1,1)1(1)(1)yx故曲线在点处的切线方程为：k'21(1)11f所以，．()fx21x解：因为=，20xy即：.1()fxx()yfx(1,1)变式训练1：已知函数，求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程．()yfx(1,1)1yx解:由例2可知,过曲线上点的切线的斜率为所以与它垂直的直线的斜率为1,所以所求直线方程为．，1()fxxl()yfx(3,1)l变式训练2：已知函数，直线为曲线的切线且过点，求直线的方程．问题1：点(3,1)是否在曲线上？问题2：函数在3x处的导数是否是所求切线的斜率？问题3：如何求这条切线方程？解：设切点为00(,)Pxy，直线的斜率：001()kfxx，直线l的方程为：00()yykxx，即：00011()yxxxx又因为直线l过点(3,1)，所以：000111(3)xxx，解得：01x所以所求的切线方程为：1(1)(1)yx，即：20xy．本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？1．知识：（1）利用定义求导法的方法，求导的三个步骤：作差，求商，取极限．（2）四个常用函数的导数：yc的导数0y；yx的导数1y；2yx的导数2yx；1yx的导数21yx．（3）函数的导数的不同角度意义的解释．（4）利用导数求切线方程的方法．2．思想：归纳概括思想、类比思想、数形结合的思想．必做题：1．已知圆面积2Sr，根据导数定义求()Sr．2．已知2()fxx,求(3)f．3．求过曲线3yx上点(1,1)的切线的直线方程．4．求曲线221yx的斜率等于4的切线方程．选做题：1．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为()5000.834tAt，问氡气的散发速度是多少？2．由四个常用函数的导数，能否归纳yx(Q*)的导数？TehEnd