高中数学人教版A版必修一配套课件第一章集合与函数的概念131第1课时

第1课时函数的单调性第一章1.3.1单调性与最大(小)值1.理解单调区间、单调性等概念；2.会划分函数的单调区间，判断单调性；3.会用定义证明函数的单调性.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一函数单调性思考1画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？答案答案两函数的图象如下：函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.思考2用图象在某区间上上升(或下降)来描述函数单调性很直观，课本为什么还要用定义刻画单调性？答案答案因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的.一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.答案增函数减函数知识点二函数的单调区间思考我们已经知道f(x)＝x2的减区间为(－∞，0]，f(x)＝1x的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？答案答案f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝1x的定义域.一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.返回题型探究重点难点个个击破类型一求单调区间并判断单调性例1(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解析答案解y＝f(x)的单调区间有[－5,－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5,－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.解析答案(2)写出y＝x2－3|x|＋2的单调区间.解由f(x)＝x2＋3x＋2，x0，x2－3x＋2，x≥0，画出草图：∴f(x)在(－∞,－32]，[0,32]上递减，在[－32,0]，[32,＋∞)上递增.反思与感悟解析答案跟踪训练1(1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；解函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数.解析答案(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间.解先画出f(x)＝x2－2x－3，x－1或x3，－x2－2x－3，－1≤x≤3的图象，如图.所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞).类型二证明单调性例2(1)物理学中的玻意耳定律p＝(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之；解析答案kV解析答案(2)已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x0时，f(x)1.求证：函数f(x)在R上是增函数.证明方法一设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x20.f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.∵x0，∴f(x)1，f(x)－10，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2).∴函数f(x)在R上是增函数.方法二设x1x2，则x1－x20，从而f(x1－x2)1，即f(x1－x2)－10.f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1f(x2)，故f(x)在R上是增函数.反思与感悟解析答案跟踪训练2(1)求证：函数f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上是增函数；解析答案(2)已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1.求证：f(x)在R上是减函数.类型三用单调性解不等式例3(1)已知函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，x1，x2∈(a，b)且f(x1)f(x2)，求证：x1x2；解析答案证明假设x1，x2∈(a，b)且x1≥x2.则由f(x)在区间(a，b)上是增函数，得f(x1)≥f(x2)，与已知f(x1)f(x2)矛盾，故假设不成立.∴x1x2.解析答案(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，求a的取值范围.解根据(1)，f(1－a)f(2a－1)等价于－11－a1－12a－111－a2a－1，解得0a23，即所求a的取值范围是0a23.反思与感悟解析答案跟踪训练3在例3(2)中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)f(2a－1)，则a的取值范围又是什么？f(1－a)f(2a－1)，∴1－a2a－1，即a23，解∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，∴所求a的取值范围是(23，＋∞).返回123达标检测45答案1.已知函数f(x)＝－x2，则()A.f(x)在(－∞，－1)上是减函数B.f(x)是减函数C.f(x)是增函数D.f(x)在(－∞，－1)上是增函数D123452.函数y＝6x的减区间是()A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案C123453.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是()A.f(x)＝x2B.f(x)＝1xC.f(x)＝|x|D.f(x)＝2x＋1答案B123454.已知函数y＝f(x)满足：f(－2)f(－1)，f(－1)f(0)，则下列结论正确的是()A.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增B.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减C.函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)D.以上的三个结论都不正确答案D123455.设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)f(x2)B.f(x1)f(x2)C.f(x1)＝f(x2)D.不能确定答案D规律与方法1.若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减.2.对增函数的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或fx1－fx2x1－x20.对减函数的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或fx1－fx2x1－x20.返回3.熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③1fx单调递减(f(x)≠0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商fx1fx2与1比较.