高中数学人教版选修11配套课件第1章常用逻辑用语141142

1.4.1全称量词1.4.2存在量词第一章§1.4全称量词与存在量词1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做____，并用符号“”表示.(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.答案全称量词∀∀x∈M，p(x)知识点二存在量词和特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_____，并用符号“”表示.(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做.特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.答案存在量词∃特称命题∃x0∈M，p(x0)答案返回思考(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？答案在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？答案元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.题型探究重点突破解析答案题型一全称量词与全称命题例1试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋20；解由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥20，即x2＋20，所以命题“∀x∈R，x2＋20”是真命题.(2)∀x∈N，x4≥1；解由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.反思与感悟解析答案跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1≥2；解由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋1≥1，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题.(2)任何一条直线都有斜率；解当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.(3)每个指数函数都是单调函数.解无论底数a＞1或是0a1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.π2解析答案题型二存在量词与特称命题例2判断下列特称命题的真假：(1)∃x0∈Z，x301；解∵－1∈Z，且(－1)3＝－11，∴“∃x0∈Z，x301”是真命题.(2)存在一个四边形不是平行四边形；解真命题，如梯形.解析答案(3)有一个实数α，tanα无意义；解真命题，当α＝π2时，tanα无意义.(4)∃x0∈R，cosx0＝π2.解∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而π21，∴不存在x0∈R，使cosx0＝π2，∴“∃x0∈R，cosx0＝π2”是假命题.反思与感悟解析答案跟踪训练2试判断下列特称命题的真假：(1)∃x0∈Q，x20＝3；解由于使x20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”为假命题.(2)∃x0，y0为正实数，使x20＋y20＝0；解因为x00，y00，所以x20＋y200，所以“∃x0，y0为正实数，使x20＋y20＝0”为假命题.解析答案(3)∃x0∈R，tanx0＝1；解当x0＝π4时，tanπ4＝1，所以“∃x0∈R，tanx0＝1”为真命题.(4)∃x0∈R，lgx0＝0.解当x0＝1时，lg1＝0，所以“∃x0∈R，lgx0＝0”为真命题.解析答案例3(1)若命题p：存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a0，求实数a的取值范围；题型三全称命题、特称命题的应用解由ax20＋2x0＋a0，得a(x20＋1)－2x0，∵x20＋10，当x00时，x0＋1x0≥2，∴－2x0＋1x0≥－1，当x00时，x0＋1x0≤－2，∴－2x0＋1x0≤1，∴a－2x0x20＋1＝－2x0＋1x0，∴－2x0＋1x0的最大值为1.又∵∃x0∈R，使ax20＋2x0＋a0成立，∴只要a1，∴a的取值范围是(－∞，1).解析答案(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.解①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－60不恒成立.②当m＋1≠0，则m＋10，Δ0，⇒m－1，Δ＝m－12－4m＋1·3m－10，⇒m－1，m－1311或m1，综上，m－1311.反思与感悟反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别.解析答案跟踪训练3(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；解关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74，∴实数a的取值范围为[74，＋∞).(2)若命题p：1－sin2x＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围.解由1－sin2x＝sinx－cosx，得sin2x＋cos2x－2sinxcosx＝sinx－cosx，∴sinx－cosx2＝sinx－cosx，即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，结合三角函数图象得，2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，此即为所求x的取值范围.∴sinx≥cosx.即p：∀x∈[2kπ＋π4，2kπ＋5π4](k∈Z)，有1－sin2x＝sinx－cosx是真命题.解析答案思想方法化归思想的应用例4对任意x∈[－1,2]，有4x－2x＋1＋2－a0恒成立，求实数a的取值范围.分析通过换元，可转化为一元二次不等式的恒成立问题，通过分离参数，又可将恒成立问题转化为求最值的问题.解原不等式化为22x－2·2x＋2－a0，①令t＝2x，因为x∈[－1,2]，所以t∈[12，4]，则不等式①化为t2－2t＋2－a0，即at2－2t＋2.所以原命题等价于∀t∈[12，4]，at2－2t＋2恒成立，令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，因为当t∈[12，4]时，ymax＝10，所以只需a10即可.故实数a的取值范围是(10，＋∞).解析答案返回解后反思当堂检测12345解析答案1.下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3解析①③是全称命题.C解析答案123452.下列命题中，不是全称命题的是()A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是特称命题.D123453.下列特称命题是假命题的是()A.存在x∈Q，使2x－x3＝0B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数解析对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋12)2＋340恒成立.B解析答案解析答案123454.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A.存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tanα0B.存在实数x0，使sinx0＝C.对一切α，sin(180°－α)＝sinαD.对一切α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ解析含有存在量词的命题只有A，B，π2而sinx0≤1，所以sinx0＝π2不成立，故选A.A解析答案123455.已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x03x0，命题q：∀x∈(0，π2)，cosx1，则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨(綈q)C.(綈p)∧qD.p∧(綈q)解析当x00时，2x03x0不成立，∴p为假命题，綈p为真命题，而x∈(0，π2)时，cosx1成立，∴q为真命题.C课堂小结返回1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.