高中数学人教版选修11配套课件第3章导数及其应用311312

3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念第三章§3.1变化率与导数1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率fx2－fx1x2－x1ΔyΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx知识点二函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.瞬时变化率f′(x0)或y′|答案返回0xx题型探究重点突破解析答案题型一平均变化率例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.解∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.解析答案(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.反思与感悟解析答案跟踪训练1求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.解函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝[3x0＋Δx2＋2]－3x20＋2Δx＝6x0·Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.解析答案题型二物体运动的瞬时速度例2一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线运动，求这辆汽车在t＝2s时的瞬时速度.解设在t＝2s附近的时间增量为Δt，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2.因为ΔsΔt＝8＋2Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(8＋2Δt)＝8，所以这辆汽车在t＝2s时的瞬时速度为8m/s.反思与感悟解析答案跟踪训练2一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴ΔsΔt＝4a＋aΔt.在t＝2s时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，即4a＝8，∴a＝2.解析答案题型三函数在某点处的导数例3求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.解Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，反思与感悟∵ΔyΔx＝3Δx2＋4ΔxΔx＝3Δx＋4，∴y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3Δx＋4)＝4.解析答案跟踪训练3利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－Δx2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.解析答案返回例4一辆汽车按s＝3t2＋1做直线运动，求这辆车在t＝3s时的瞬时速度.(位移单位：m，时间单位：s)一题多解瞬时速度的求解点评当堂检测12345解析答案1.如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是()A.4B.4.1C.0.41D.3解析v＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.B123452.函数f(x)在x0处可导，则limh→0fx0＋h－fx0h()A.与x0、h都有关B.仅与x0有关，而与h无关C.仅与h有关，而与x0无关D.与x0、h均无关B答案123453.若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A.6B.18C.54D.81解析答案解析因为ΔsΔt＝33＋Δt2－3×32Δt＝18Δt＋3Δt2Δt＝18＋3Δt，所以limΔt→0ΔsΔt＝18.B解析答案123454.若一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝____时的瞬时速度为1.解析ΔsΔt＝7t＋Δt2＋8－7t2＋8Δt＝7Δt＋14t，当limΔt→0(7Δt＋14t)＝14t＝1时，t＝114.114解析答案123455.已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝_____.解析f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx1＋1＋Δx＝－12.－12课堂小结返回利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)作比求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.简记为一差，二比，三极限.