高中数学人教版选修11配套课件第3章导数及其应用313

3.1.3导数的几何意义第三章§3.1变化率与导数1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是.相应地，切线方程为.知识点二函数的导函数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)答案返回题型探究重点突破题型一已知过曲线上一点求切线方程例1若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值.∴y′＝limΔx→0x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3axΔx＝limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔxΔx＝limΔx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得3x20＋3a＝3，x30＋3ax0＝y0＝3x0＋1，解得a＝1－322，x0＝－342，解∵y＝x3＋3ax.∴a＝1－322.解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练1求过曲线y＝1x在点2，12处的切线方程.解因为limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝limΔx→012＋Δx－12Δx＝limΔx→0－122＋Δx＝－14.所以这条曲线在点2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－12＝－14(x－2)，即x＋4y－4＝0.解析答案题型二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程.解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2x＋Δx2－7]－2x2－7Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.由于点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0).解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.反思与感悟解析答案跟踪训练2求过点A(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程.解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|＝limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0).由点(2,0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.0xx解析答案题型三求切点坐标例3在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角.反思与感悟解析答案跟踪训练3已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3).(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).∴斜率为4，∴斜率为8，题型归纳计算切线与坐标轴围成的图形的面积求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类：(1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算.(2)求通过曲线外一点引曲线的两条切线，两切线与坐标轴围成的图形的面积.解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标.(3)求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积.其解题步骤为：①求两曲线的交点坐标；②求交点处两条切线的切线方程；③求两切线与坐标轴的交点坐标；④依据数形结合的思想计算图形的面积.解析答案返回例4已知曲线y＝1x和y＝x2.求两曲线交点处的两条切线与y轴所围成的三角形的面积.当堂检测12345解析答案1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A.4B.16C.8D.2解析f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝limΔx→022＋Δx2－8Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8，即斜率k＝8.C解析答案123452.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A.a＝1，b＝1B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝－1D.a＝－1，b＝－1解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→00＋Δx2＋a0＋Δx＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.A12345解析答案3.已知曲线y＝12x2－2上一点P1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.135°D.165°解析∵y＝12x2－2，∴y′＝limΔx→012x＋Δx2－2－12x2－2Δx＝limΔx→012Δx2＋x·ΔxΔx＝limΔx→0x＋12Δx＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点P1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.B解析答案123454.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________.解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→02Δx2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).(3,30)解析答案123455.曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为____________.解析Δy＝2(Δx－1)2＋1－2×(－1)2－1＝2(Δx)2－4Δx，ΔyΔx＝2Δx－4，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx－4)＝－4，由导数几何意义知，曲线y＝2x2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y＝－4x－1，即4x＋y＋1＝0.4x＋y＋1＝0课堂小结返回2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.