高中数学人教版选修12同课异构教学课件222反证法探究导学课型

2.2.2反证法主题：反证法【自主认知】1.鲁迅先生在论证“作文没有秘诀”时叙述：如果作文有秘诀，则就有许多祖传作家，由于不存在许多祖传作家，所以，作文没有秘诀.鲁迅先生运用的是数学中的哪种思想？提示：运用的是反证法的思想.2.用反证法证明命题“若p，则q”的第一步是什么？提示：第一步是否定结论，即若p，则q.➡根据以上探究过程，试着写出反证法的定义及反证法常见的矛盾类型：1.反证法的定义假设原命题_______(即在原命题的条件下，_____不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了_______成立，这样的证明方法叫做反证法.不成立结论原命题2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_____矛盾，或与_____、_____、_____、_____矛盾等.已知条件假设定义定理公理事实【合作探究】1.我们常说“否定之否定即为肯定”你能说明反证法中的否定之否定的两个否定分别是指什么吗？提示：第一个否定是指“否定结论”即假设，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.2.反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗？提示：有关，反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假一致”，即：“P⇒Q”⇔“Q⇒P”.【过关小练】1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列作为条件使用.①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论.【解析】根据反证法的定义及特点知，推导过程可以把结论相反判断，即假设，原命题的条件及公理、定理、定义等作为条件使用，而不能把原命题的结论作为条件使用，故①②③正确，④不正确.答案：①②③2.两直线a与b异面的否定为.【解析】两直线a与b的位置关系共有a与b异面、相交、平行，故a与b异面的否定为a与b相交或平行.答案：a与b相交或平行【归纳总结】1.用反证法反设的三个关注点(1)正确分清题设和结论.(2)对结论实施正确否定.(3)对结论否定后，找出其所有情况.2.反证法证明的常见问题反证法可以证明的命题的范围非常广泛，一般常见的有：唯一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等.3.反证法常用结论的反设词结论词=是都是至多一个至少一个任意至少n个至多n个反设词≠≤≥不是不都是至少两个一个也没有某个至多n-1个至少n+1个类型一：用反证法证明否定性问题【典例1】(2015·邯郸高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1+，S3=9+3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn.(2)设bn=(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.22nSn【解题指南】第(1)问考查等差数列的通项公式与前n项和公式，应用an=a1+(n-1)d和Sn=na1+n(n-1)d两式求解.第(2)问先假设任三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明.12【解析】(1)设公差为d，由已知得所以d=2，故an=2n-1+，Sn=n(n+).(2)由(1)得bn=假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则即(q+)2=(p+)(r+)，所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0.11a213a3d932，，22nSn2.n2qprbbb，2222因为p，q，r∈N*，所以所以=pr，(p-r)2=0，所以p=r，这与p≠r矛盾.所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.2qpr02qpr0，，2pr()2【规律总结】1.用反证法证明的三个基本步骤(1)反设：假设原命题的结论不成立.(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得到矛盾.(3)下结论：矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立.2.使用反证法的注意点(1)用反证法证明问题的第一步是“假设”，这一步要准确，否则后面的证明毫无意义.(2)反证法的“归谬”要合理.3.反证法的适用范围(1)否定性命题.(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的.(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明的.(4)要讨论的情况多或者复杂，而反面情况少或者简单的.(5)问题共有n种情况，现要证明其中有一种情况成立时，可以想到用反证法把其他的(n-1)种情况都排除，从而肯定这种情况成立.【巩固训练】(2015·临沂高二检测)已知f(x)=ax+(a1)，证明方程f(x)=0没有负数根.【证明】假设x0是f(x)=0的负数根，则x00且x0≠-1，且由01⇒01，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)=0没有负数根.x2x10x00x2ax1，0xa00x2x112【补偿训练】设a，b，c，d∈R，且ad-bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，因为ad-bc=1，所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0，即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0，所以a+b=0，c+d=0，a-d=0，b+c=0，所以a=b=c=d=0，这与已知条件ad-bc=1矛盾.故假设不成立，所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.类型二：用反证法证明“至多”“至少”问题【典例2】已知a≥-1，求证三个方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解.【解题指南】【证明】假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：这与已知a≥-1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解.222231a4a44a302213a14a0aa1a1322a42a02a0＜＜，＜，＜，＞或＜，＜＜，＜＜＜【延伸探究】1.(改变问法)将本题改为：已知下列三个方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？【解析】若方程没有一个有实根，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是222231a16a434a02213a14a0aa1a1.324a8a02a0＜＜，＜，则＜，解得＞或＜，即＜＜＜，＜＜，3{a|a1a}.2或2.(变换条件、改变问法)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围.【解析】假设至少三个方程有实数根，则即a∈∅.所以实数a的取值范围为实数R.222222231aa4a44a30224a4a301a14a03a2a101a3a2a02a42a0a2a0或，，，，即，解得，，，或，【规律总结】用反证法证明“至多”“至少”等有关命题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的.(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法.【补偿训练】若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+.求证：a，b，c中至少有一个大于0.【证明】假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a+b+c≤0.因为a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-30，这与a+b+c≤0相矛盾.所以a，b，c中至少有一个大于0.236623类型三：用反证法证明“唯一性”命题【典例3】已知：一点A和平面α，求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直.【解题指南】【证明】根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明.(1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有一条直线与已知直线垂直相矛盾.(2)如图2，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂直AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有一条直线与已知直线垂直相矛盾.综上，经过点A只能有一条直线和平面α垂直.【延伸探究】将本题条件改为：已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个.【证明】如图所示.假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立.【规律总结】巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性和唯一性.【巩固训练】若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)0，f(b)0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.【证明】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)0，f(b)0，即f(a)·f(b)0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)=0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)=0，则n≠m.若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾.因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.【补偿训练】求证方程2x=3有且只有一个根.【证明】因为2x=3，所以x=log23，这说明方程2x=3有根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的：假设方程2x=3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则两式相除得若b1-b20，则1，这与=1相矛盾.若b1-b20，则1，这也与=1相矛盾.所以b1-b2=0，则b1=b2，这与假设矛盾，所以假设不成立，从而原命题得证.12bb2323，，12bb21．12bb212bb212bb212bb2