高中数学教案选修22131单调性

教学目标：1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．教学重点：利用导数判断函数单调性．教学过程：一、问题情境1．问题情境．怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？2．探究活动．由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？二、建构数学1．函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y＝f(x)的切线的斜率就是函数y＝f(x)的导数．从函数243yxx＝－＋的图象可以看到：y＝f(x)＝x2－4x＋3切线的斜率f′(x)(2，＋∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y＝f(x)的值随着x的增大而增大，即y′＞0时，函数y＝f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y＝f(x)的值随着x的增大而减小，即y′＜0时，函数y＝f(x)在区间（－∞，2）内为减函数．定义：一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有y′＞0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′＜0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数()fx．②令()fx＞0解不等式，得x的范围就是递增区间．③令()fx＜0解不等式，得x的范围就是递减区间．三、数学运用例1确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．21fx=2x3-6x2+7xOy解f′(x)＝(2x3－6x2＋7)′＝6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．例2已知函数y＝x＋x1，试讨论出此函数的单调区间．-22-11fx=x+1xxOy解法一：(用定义的方法)法二：(用导数方法)点评用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于用定义法解决单调性问题是十分简捷的；用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性．练习1．确定下列函数的单调区间（1）y＝x3－9x2＋24x（2）y＝x－x32．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间．3．求下列函数的单调区间（1）y＝2xx＋（2）y＝29xx－（3）y＝x＋x．四、回顾小结f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f′(x)＝0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数．五、课外作业课本第29页第1，2，3题．