高中数学教案选修22第2章复习与小结

教学目标：1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解直接证明的基本方法：分析法、综合法和数学归纳法；了解分析法、综合法和数学归纳法的思考过程、特点．4．了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识．教学重点：了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识．教学难点：认识数学本质，把握数学本质，灵活选择并运用所学知识解决问题．教学过程：一、知识回顾本章知识结构：基础知识过关：（1）合情推理包括推理、推理．（2）称为归纳推理；它是一种由到，由到的推理．（3）称为类比推理；它是一种由到的推理．（4）归纳推理的一般步骤是：①，②．（5）类比推理的一般步骤是：①，②．（6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为，它是一种到的推理．（7）和是直接证明的两种基本方法．（8）反证法证明问题的一般步骤：①，②，③；④．（9）数学归纳法的基本思想；数学归纳法证明命题的步骤：①，②，③．二、数学运用例1（1）考察下列一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52，24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是．（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为．（3）若数列{an}是等差数列，对于bn＝1n(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn＞0，则dn＝时，数列{dn}也是等比数列．解（1）(0)mnmnmnnmabababababmnN＋＋＋＞＋，＞，≠，，∈；（2）体积比为1∶8；（3）12nncccnN，∈．说明（1）是从个别情况到一般情况的合情推理；（2）是从平面到空间的类比推理；（3）是从等差数列到等比数列的类比推理．例2若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法和分析法证明：1caabbc＋＝＋＋．证明（分析法）要证1caabbc＋＝＋＋，只需证()()()()cbcaababbc＋＋＋＝＋＋，即证222caacb＋＝＋，∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，由余弦定理得2222cos60bacac＝＋－，即222caacb＋＝＋，故原命题成立．（综合法）∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，由余弦定理得2222cos60bacac＝＋－，即222caacb＋＝＋，或()()()()cbcaababbc＋＋＋＝＋＋，两边同除以()()abbc＋＋得1caabbc＋＝＋＋．说明分析法和综合法是两种常用的直接证明方法．分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果，分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．例3已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于41．分析“不能同时大于41”包含多种情形，不易直接证明，可考虑反证法．证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同时大于14，即(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14，∵a，b，c∈(0，1)，∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞164，又211(1)()24aaaa－＋－≤＝，同理1(1)4bc－≤，1(1)4ca－≤，∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞164，这与假设矛盾，故原命题得证．说明反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思考问题的证明方法．用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；（2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；（3）导出一个恒假命题．使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提．当遇到否定性、惟一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法．例4已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝an2(n∈N*)记Sn＝a1＋a2＋…＋an．Tn112121111(1)(1)(1)(1)(1)naaaaaa＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋．求证：当n∈N*时，（1）an＜an＋1；（2）Sn＞n－2；（3）Tn＜3．解（1）证明：用数学归纳法证明．①n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1＜a2．②设当n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1，因为ak＋12－ak2＝(ak＋22＋ak＋2－1)－(ak＋12＋ak＋1－1)＝(ak＋1－ak＋1)(ak＋1＋ak＋1＋1)，所以ak＋1＜ak＋2．即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立．根据①和②，可知an＜an＋1对任何n∈N*都成立．（2）证明：由ak＋12＋ak＋1－1＝ak2，k＝1，2，…，n－1（n≥2），得an2＋(a2＋a3＋…＋an)－(n－1)＝a12．因为a1＝0，所以Sn＝n－1－an2．由an＜an＋1及an＋1＝1＋an2－2an＋12＜1，得an＜1，所以Sn＞n－2．（3）证明：由ak＋12＋ak＋1＝1＋ak2≥2ak，得11112kkkaaa＋＋≤＋(k＝2，3，…，n－1，n≥3)所以2234221(1)(1)(1)2()nnnaaaaaa≤＋＋＋＋(a≥3)，于是2234221(1)(1)(1)2()nnnaaaaaa≤＋＋＋＋＝22nna＜212n(n≥3)，故当n≥3时，21111322nnT－＜＋＋＋＋＜，又因为T1＜T2＜T3，所以Tn＜3．三、学生总结引导学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间的关系．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力．四、课后作业教材第102—103页复习题第3题，第4题，第5题，第9题，第12题，第13题．