高二人教A版必修5系列教案23等差数列前N项和2

“体现高中数学相关分支教育价值的教学设计”———等差数列的前n项和(人教A版必修5第二章第三节)永安市第一中学黄金明一、内容和内容解析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．是数列的基本概念和等差数列知识的延续，也是后续学习积分、极限等知识的基础，起着承上启下的重要作用。本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和及该求和公式的应用,该数学模型在实际生活中有着广泛的应用。通过等差数列前n项和公式的探究，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的研究问题的方法，体现“授之于鱼，不如授之于渔”的教学价值；通过介绍高斯求和的故事，向学生渗透人文价值与情感教育价值；通过求和公式的选用、变用与拓展来体现数学课堂的方法价值、应用价值、类比价值；这些价值的渗透有利于提升学生的数学素养。二、目标和目标解析知识与技能目标:理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；过程与方法目标学生在教师的引导下，经历从特殊到一般、再从一般到特殊的过程中，探究得到等差数列前n项和公式，进一步体会特殊与一般、化归与转化、函数与方程（组）等重要数学思想；学生在理解和运用公式的过程中，运算求解能力、分析问题及解决问题的能力得到进一步提高，创新意识与应用意识得到发展。情感态度价值观学生通过对高斯成长经历的了解，体会他的奉献精神和治学态度，借鉴他的思维方式，培养严谨、细致、勇于探索、敢于创新的良好学习态度。基于以上教学目标的分析，确立本节课的教学重点是：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决求和问题三、教学问题诊断分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；但是高斯算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．因为首尾配对法还需要分奇数、偶数两种情况讨论，偶数的情况学生相对较为熟悉，也更容易掌握；奇数的情况时，学生对配对后的项数及剩下的中间项较容易产生错误。为了帮助学生扫清该障碍，避免分类讨论而引入倒序相加法，可以设计以下两个环节。其一是借助几何图形的直观性，在原来的图形旁边再放置一个倒置的图形，让学生再来观察图形的特征，从形的角度获得倒序相加法的思路，该方法形象、直观，学生易于接受。其二是从形到数启发学生，提出如下问题“我们知道，当项数为偶数时可以直接凑成整数对，那么对于任意的正整数项数n而言，如何能让它转化为偶数呢？”，给出充裕的时间交流、讨论后，师生共同探究分析得出结论：“任何一个正整数的偶数倍一定是偶数，且2倍是最简单的方法”，教师因势利导再问“如何才能刚好凑对呢？”，学生自然而然的想到把另外一组和的顺序倒置再相加，而进一步理解倒序相加法的原理，该方法体现了数学的本质及数学的严谨。两个环节相辅相成，从数形两个方面很好的诠释了倒序相加法，既直观又严谨。在公式应用环节中，项数的确定是学生学习中的又一障碍，如求和1+3+5+7+…+2n-3=?.学生很容易直接把项数n代入公式而出现错误，这是由于前一节课通项公式an=a1+（n－1）应用不熟练造成的，所以教师一方面要加强通项公式中已知a1、an求项数n的相关训练，另一方面要提醒学生注意审题，养成良好的学习习惯。基于以上教学问题诊断的分析，确立本节课教学难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．四、教学支持条件分析为了更好的进行本节课的教学，给师生提供一个和谐、愉快、高效的课堂氛围，需要以下教学条件的支持1、多媒体探究教室一间，有多功能桌椅，一套完整的多媒体播放系统（含师生对讲系统，抽号系统等）。2、教师事先准备好的自制V型粉笔架一个和粉笔若干。3、多媒体课件。五、教学过程设计（一）以境激情,提出问题有一种新型的放置粉笔的装置，它具有取放粉笔方便、快捷的优点——V型粉笔架（教师把事先制作好的道具给学生演示）最底层装1支，倒数第二层装2支，以此类推每往上一层粉笔增加一支，一共装了14层；另一种是普通的盒装粉笔装置，一盒50支，共有2盒；请问：哪一种装置的粉笔数多？【设计意图】创设生活化问题情境，一方面激发学生学习新知的兴趣与积极性，另一方面充分体现数学在实际生活中的广泛应用。大部分学生采用直接相加或者借助计算器来完成，少数学生可能会想到用高斯的算法来处理，教师趁机引导：直接计算是一种方法，但是数字大的时候计算量很大，运算效率低下，为了提高运算效率，我们经常会借助巧算，借此引出高斯求和的故事[知识链接]（教师幻灯投影、图文并茂）高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5050.师生共同分析高斯算法的巧妙之处：把不同数的求和问题转化成相同数的求和问题教师借此渗透人文价值教育：高斯与阿基米德、牛顿并列为数学史上最伟大的三大数学家，他的数学业绩几乎遍布整个数学王国，被誉为“数学王子”。此外，高斯还是优秀的天文学家，物理家，高斯埋头苦干，精益求精，探索专研的品质堪为世人之楷模。他对数论，代数，复变函数，超几何级数，统计学，微分学，概率论都有不同程度的贡献。因此，数学领域内有许多的术语都冠以高斯的名字，如“高斯曲线”，“高斯质数”等。近代数学史学家贝尔对高斯的成就评价道：“在数学的世界里，高斯处处留方。”[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下由浅入深、由具体到抽象的几个问题．（二）启发引导,探索发现问题1、如果V型粉笔架有25层，请问：一共有多少支粉笔？把学生分成若干小组，进行小组合作、交流讨论学习，思考成熟的小组举手示意并派代表展示本小组的成果，其它学生则一起分享。[学情预设]受高斯算法的启示，学生可能会出现以下的解法预设1、1+2+3+4+…+25=0+1+2+3+4+…+25=（0+25）+（1+24）+（2+23）+…+（12+13）=25×13=325预设2、1+2+3+4+…+25=（1+2+3+4+…+25+26）-26=（1+26）+（2+25）+（3+24）+…+（13+14）-26=27×13-26=325预设3、1+2+3+4+…+25=（1+25）+（2+24）+（3+23）+…+（12+14）+13=26×12+13=325师：以上方法都很好，只是表现的形式略有区别，其实质是一样的，都采用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．【设计意图】这是求奇数项和的问题，若简单地模仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．问题2：如果V型粉笔架有n层（n∈N*），请问：一共有多少支粉笔？教师给学生足够的时间交流、讨论，让学生大胆说出自己的想法，[学情预设]学生通过激烈的讨论交流后，得出结论：要对项数n进行分类讨论，即n为奇数时不刚好配对，n为偶数时刚好配对。教师进而提出问题：“有没有其它方法可以避免分类讨论呢？”．【设计意图】从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一高斯算法的改进．启发1：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．请同学们认真观察每一层的粉笔数量有何特征及粉笔的层数，能否把?)1(4321nn的表达式写出来呢？【设计意图】借助几何图形的直观性，能启迪思路，让复杂问题简单化、抽象问题具体化，揭示研究对象间的性质与关系，并为倒序相加法的出现提供了一个直观的模型．通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：∵1+2+3+…（n－1）+nn+（n－1）+（n－2）+…+2+1____________________________________________________________________(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)∴1+2+3+…+n=n（n+1）2启发2：以上是从图形的直观角度入手，借助倒置的图形与原图形构成平行四边形从而避免分奇偶讨论的情况，同学们思考该方法的数学本质是什么呢？即对于任意的正整数项数n而言，如何能让它转化为偶数，且计算要最简便呢？”分析：任意正整数的偶数倍一定是偶数，且2倍是最简单的。【设计意图】数、形既是数学知识体现的两个方面，又是相辅相成的，正如著名数学家华罗庚所说的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。形具有形象、直观性，是感性认识的良好素材；而数具有严谨性、说服力，最能体现数学本质的东西。又因为数学是科学的、严谨的，所以数形结合才能给学生留下深刻的印象。（三）、类比联想,解决问题问题3：在公差为d的等差数列{na}中，定义前n项和nnnaaaaS121，如何求nS？由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：nnnaaaaS121也可写成121aaaaSnnn∴)()()()(2121121aaaaaaaaSnnnnn)(1naan1()2nnnaaS(公式1)（四）、挖掘公式,深化认识为了更全面系统的掌握、理解公式，教师继续提出以下问题并组织学生小组讨论：问题1、为什么有)()()()(121121aaaaaaaannnn成立？（等差数列的性质）分析：实质是等差数列的重要性质——等距性（即,,,knml∈N,lknmaaaalknm,）的应用，【设计意图】一方面巩固等差数列的性质，另一方面是理解公式的内涵问题2、在公式1中若将dnaan)1(1代入又可得到怎样的式子?即：1(1)2nnnSnad（公式2）教师还可以引导学生将式子变形成：211(1)(),222nnnddSnadnan【设计意图】培养学生思维的发散性，为用函数观点解决数列问题做铺垫问题3、两个公式有何异同点？学生小组讨论后得出结论：两个公式都含有四个量，只是基本量不同而已：公式1含1a、n、na、nS四个量，公式2含1a、n、d、nS四个量。【设计意图】培养学生观察、比较、分析、归纳等能力问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？生：知三求一的问题【设计意图】培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析【设计意图】培养学生类比、反思等思维能力[知识链接]【设计意图】这些问题串的设计，是为了达到：数学公式课的教学，不仅要知道公式的来龙去脉，还要知道公式是什么，记住公式且挖掘公式的内涵与外延。更重要的是公式有何用，怎样用？让学生对公式课的学习有个系统、全面的认识，形成一套科学而有效的探究公式的方法。力求体现“授之于鱼，不如授之于鱼渔”的教学价值。（五）剖析例题，理解巩固例题1、（1）众所周知，中国的著名运动员姚明在篮球领域中取得了巨大的成就，他是整个中国的骄傲，甚至是整个亚洲的骄傲。但是同学们了解姚明刚去NBA时的辛酸吗？初到NBA，姚明为了更快的适应NBA的高强度对抗，给自己指定了为期10天的投篮训练计划，从第一天到第十天的投篮个数依次如下表：60065070075080085090095010001050请问：姚明这十天一共投了几个篮？【设计意图】1、从数学知识角度出发：学生要达到会选用公式从而熟悉公式的目的。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项