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3.1.5空间向量运算的坐标表示由平面向量的坐标运算,推广到空间向量运算.向量a在平面上可用有序实数对(x,y)表示,在空间则用有序实数组{x,y,z}表示.1212(,),(,)aaabbb设则;ab;ab;a;ab1122(,)abab1122(,)abab12(,)aa1122abab平面向量运算的坐标表示:;aaa2212aa//;abab()abR1122,()ababR0ab11220ababcos,;ababab112222221212ababaabb1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直.(重点)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.(难点)123123(,,),(,,)aaaabbbb设则;ab;ab;a;ab//;ab.ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,)()aaaR112233ababab112233,,()ababababR11223300abababab探究点1空间向量运算的坐标表示2222123||.aaaaaa2222123||.bbbbbb1.距离公式(1)向量的长度(模)公式注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.探究点2距离与夹角设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3).baAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121||()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中,已知、,则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz(2)空间两点间的距离公式||ABABABcos,||||ababab112233222222123123.abababaaabbb2.两个向量夹角公式注意:(1)当时,同向.(2)当时,反向.(3)当时,.cos,1abab与cos,1abab与cos,0abab思考:当及时,夹角在什么范围内?0cos,1ab1cos,0ab已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,|a|,8a,例a.b1a-b=(2,-3,5)-(-3,1,-4)=(5,-4,9),a+b=(2,-3,5)+(-3,1,-4)=(-1,-2解:,1),,222|a|=2+(-3)+5=388a=8(2,-3,5)=(16,-24,40),ab=(2,-3,5)(-3,1,-4)=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29.F1E1C1B1A1D1DABCD1yzx解:设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系,则Dxyz13(1,1,0),(1,,1),4BE11(0,0,0),(0,1).4DF,131(1,,1)(1,1,0)(0,,1),44BE例2如图,在正方体中,,求与所成的角的余弦值.1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DF111(0,1)(0,0,0)(0,1).44DF,,11111500()11,4416BEDF111717||,||.44BEDF所以111111151516cos,.17||||171744BEDFBEDFBEDF例3如图,正方体1111ABCDABCD中,E,F分别是1BB,11DB的中点,求证:1EFDA.则1(1,1,)2E,11(,,1)22F所以111(,,)222EF.又1(1,0,1)A,(0,0,0)D,所以1(1,0,1)DA所以1111(,,)(1,0,1)0222EFDA,因此1EFDA,即1EFDA..3.三点A1,5,-2,B2,4,1,Cp,3,q共线,则p=,q=34z.1.与a=2,-1,2共线,且满足a=-18的z=.2.A1,2,1,B-1,3,4,AP=2PB,则OP=18(,,3)334,2,4(1,-1,2)21017、如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求证:EF⊥CF.(2)求CE的长.所以EF→·CF→=12×12+(-12)×12+-12×0=0.所以EF→⊥CF→,即EF⊥CF.(2)由(1)知CE→=(0,-1,12),所以|CE→|==52.22210(1)()21.基本知识:(1)向量的长度公式与两点间的距离公式.(2)两个向量的夹角公式.2.思想方法:用向量计算或证明几何问题时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明.平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示123123设a=(a,a,a),b=(b,b,b)则112233112233123(,,);;(,,),().ababababababaaaababaR1212设a=(a,a),b=(b,b)则1122112212(,);;(,),().ababaabaaababbaR拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力.
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