高二数学课件三角函数高二数学课件

2003年名师课堂辅导讲座—高中部分[学习内容]1、三角函数的有关概念。2、同角三角函数基本关系及诱导公式。3、两角和与差三角函数。4、三角函数图象与性质。5、三角函数求值。[学习要求]（1）理解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基本关系式。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。（5）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义。（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。[学习指导]1、掌握三角函数的概念、图象和性质。近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。2、掌握三角函数基本的三角变换虽然三角变换的考查要求有所降低，但它终究是三角函数的基础，没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用，所以要立足于课本，掌握基本的三角变换。3、重视数学思想方法的复习本章试题以选择、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择填空题的一些特殊解法，如数形结合，代入检验，特殊值法。待定系数法，排除法，另外对有些具体问题还需掌握和运用一些基本结论。4、加强三角函数应用意识的训练。[典型例题分析]例1、求下列函数的定义域（1）f(x)=logsinx(1+2cosx)（2）f(x)=[分析]先转化为三角不等式，可利用单位圆或三角函数图象进行求解。xxsin1cos2解（1）1+2cosx0∴cosx-0sinx10sinx1∴2kπ-x2kπ+2kπx2kπ+π且x≠2k+k∈zf(x)定义域为2132322zkkkkk)2,2()2,2(3222（2）2cosx+1≥0∴cosx≥-tanx≠0tanx≠0∴f(x)定义域为{x|2kπ-≤x≤2kπ+且x≠kπ+x≠kπ,k∈z}2132322例2、求下列函数值域（1）y=（4）y=（2）y=sinx+cosx+sinxcosx（3）y=2cos(+π)+2cosx[分析]将原函数化为y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b或化为关于sinx(cosx)二次函数，利用换元进行配方求解。xxxcos1sin2sin2sin2sin3xx32142212121212212cos1)cos1cos(2cos1sincossin22122)sin(21)1(cossincossin)2()1(cos4)(cos2cos2cos2)1(:22ytxttyxxxxtxyxxxytxxxxxx而令解352sin42sin4)2(3633313)4(3232)cos(32cos2sinsin2coscos2cos2)cos(2)3(yyyxxxxxxyxxx反思：关于y=acos2x+bcosx+c(y=asin2x+bsinx+c,a≠0)可化为二次函数在闭区间上求最值问题，切忌忽略函数的定义域）例3、若sin2α+2sin2β=2cosα，求sin2α+sin2β的最大值与最小值。[分析]将sin2β用含有α的式子表示，利用二次函数知识求解。12221)1(coscos)cos1(sincossinsinsin1cos12,0sin2212212212222sincos222yya例4、设a≥0若y=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求出使y取得最大，最小的x值。[分析]解此类问题是化为关于sinx(cosx)的二次式，配方求最值办法。解：y=-(sinx+)2+1+b+当-1≤-≤0时，0≤a≤2时即x=kπ+(-1)karcsin(-)k∈z时ymax=1+b+=0①当日仅当sinx=1即x=2k+k∈zymin=-(1+)2+1+b+=-4②由①、②a=2b=-22a42a2a2a42a2a42a41)1()(21sin01)1(2)2(422min2422max22aaaabyzkkxxbya即当日仅当时当解得a=2（舍）综上a=2b=-2例5、已知函数f(x)=log(sinx-cosx)（1）求它的定义域与值域（2）求它的单调区间（3）判断奇偶性（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期[分析](1)、(2)从sinx-cosx=sin(x-)入手；(3)定义域；(4)利用周期函数定义。2142zkkkxxzkkxkxxx)2,2[:)2(),[2cossin0220)sin(2cossin)1(:4543214544增区间为值域为解（3）f(x)定义域不关于原点对称。即不是奇函数，也不是偶函数。2)()cos(sinlog)]2cos()2[sin(log)2()4(2121Txfxxxxxf反思：本题综合考查了三角函数性质，解题关键是把sinx-cosx化为Asin(ωx+φ)形式。例6、已知f(x)=2sin(x+)cos(x+)+2cos2(x+)-①化简f(x)的解析式②若0≤x≤π求θ,使函数f(x)为偶函数③在②的条件下，求满足f(x)=1x[-π,π]的x集合。222330)](2sin[)2sin()2sin(2)2sin(2)()2sin(23)]2cos(1[3)2sin()(:33333xxxxxfxxxxf为偶函数解662333],0[0)cos(0)cos(2sin2又　zkkkx65663212,],[222cos12cos22cos2)2sin(2)(又　　zkkxkxxxxxxf③31tan)tan(1tan)tan(7121])tan[(tan2),0(,tan)tan(7解：的值求且、已知例022)tan(00),0(2312712又而ta43)tan(tan1)tan(tan1)](tan[)2tan(aaa小结：解决此类问题一定要注意已知角和所求角之间的关系。例8、f(x)=cos2x+asinx--(0≤x≤)①用a表示f(x)的最大值M(a)②当M(a)=2时，求a的值解：4a212100)(sin)()1(24214222xxxxfaaa　　2143242142)(1sin21)(20102axfxaxfaaaaa大大时当时即　　当时即　当①②6,2)()2()0()20()2()()(0sin003104212144214342122aaaMaaaaaMxfxaaaaaa或解得时当即时　时即当大③例9、已知函数y=cos2x+sinxcosx+1(x∈R)（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象进行怎样的平移和伸缩变换得到的？[分析]由题设可知，需采取降次，化为简单的三角函数。2123},|{,)()(22,)2sin(2sin2cos12sin)1(6626456214543414322cos121zkkxxxyzkkxzkkxyxxxxvx的集合为自变量取最大值时所以当函数　　即　　必须且只需取得最大值时解：（2）将函数y=sinx依次进行如下变换思路一：先平移，后缩短（指横坐标）解法一：（1）把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin(x+)的图象；（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图象；66216（3）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图象；（4）把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图象。216212145645思路二：先缩短，后平移（指横坐标）解法二：（1）把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩短原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin2x的图象；（2）把得到的函数的图象向左平移，得到函数y=sin[2(x+)]=sin(2+)的图象；2112126（3）把得到的函数图象向上平移个单位，得到函数y=sin(2x+)+的图象；（4）把得到的函数的图象的各点的纵坐标缩小到原来的倍（横坐标不变），得到函数2y=sin(2x+)+的图象，即y=sin(2x+)+的图象。反思：在解法二中，由函数y=sin2x向左平移，而不是个长度单位，这一点应特别注意。252562121662545612