高二数学课件任意角的三角函数高二数学课件

第一章三角函数1．2任意角的三角函数1．2.1任意角的三角函数[学习目标]1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及应用(重点)．2.掌握诱导公式及其应用(重点)．3.初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切(难点)．1．任意角的三角函数(1)定义：在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；②x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；③yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)定义域．三角函数定义域sinα{α|α∈R}cosα{α|α∈R}tanα____________________________α|α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z(3)三角函数值在各象限的符号．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．温馨提示要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．诱导公式一sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)；cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)；tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)．终边相同的角的同一三角函数的值相等．3．三角函数线已知角α的终边位置(图中圆为单位图)，角α的三条三角函数线如图所示：则sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.温馨提示在从“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从“形”的角度考查任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinα0，则角α的终边在第一或第二象限．()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)若α是三角形的内角，则sinα0.()(4)具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上．()解析：(1)错误．因为sinα0，所以角α的终边还有可能在y轴的非负半轴上．(2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin60°＝sin120°，但60°≠120°.(3)正确．因为三角形的内角在(0，π)之间，所以sinα0.(4)正确．根据正切线的作法知，正切线相同的两个角的终边在同一条直线上．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.下列说法不正确的是()A.当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点B.当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D.余弦线和正切线的始点都是原点解析：余弦线始点是原点，正切线的始点是点(1，0).答案：D3.sin1，cos1，tan1的大小关系为()A.tan1＞sin1＞cos1B.sin1＞tan1＞cos1C.sin1＞cos1＞tan1D.tan1＞cos1＞sin1解析：如图，单位圆中，∠MOP＝1＞π4.因为OMOP＜22＜MPOP＜ATOA，所以cos1＜sin1＜tan1.故选A.答案：A4.已知角α的终边在y＝－43x(x≤0)上，则cosα的值是()A.35B.－35C.45D.－45解析：因为角α的终边与单位圆交于点P－35，45，所以x＝－35，y＝45，r＝1，所以cosα＝－35.答案：B5.利用三角函数线，求得满足sinα＜22，且α∈(0，π)的α的集合为.解析：如图所示，作单位圆利用三角函数线得0＜α＜π4或34π＜α＜π.答案：α0＜α＜π4或34π＜α＜π类型1三角函数定义的应用(互动探究)[典例1](1)已知角α的终边与单位圆的交点为P35，y(y＜0)，则tanα＝________；(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sinα，cosα的值．(1)解析：因点P35，y(y＜0)在单位圆上，则925＋y2＝1，所以y＝－45，所以tanα＝－43.答案：－43(2)解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，则y0＝2x0，x20＋y20＝1，x0≥0，解得x0＝55，y0＝255，即P55，255.所以sinα＝y0＝255，cosα＝x0＝55.[迁移探究1](变换条件)若将典例1第(2)题中条件“α终边落在射线y＝2x(x≥0)上”，若换为“α终边落在直线y＝2x上”，其结论又如何呢？解：(1)若α终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a所以sinα＝yr＝2a5a＝255，cosα＝xr＝a5a＝55.(2)若α终边在第三象限内，设点P(a，2a)(a0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝－5a(a0)，所以sinα＝yr＝2a－5a＝－255，cosα＝xr＝a－5a＝－55.[迁移探究2](变换条件、改变问法)若将典例1第(2)题中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”改为“α的终边经过点P0(－3，－4)”，求角α的正弦、余弦和正切值．解：由已知可得：|OP0|＝（－3）2＋（－4）2＝5.如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)．分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0，则|M0P0|＝4，|MP|＝－y，|OM0|＝3，|OM|＝－x，△OMP∽△OM0P0，于是，sinα＝y＝y1＝－|MP||OP|＝－|M0P0||OP0|＝－45；cosα＝x＝x1＝－|OM||OP|＝－|OM0||OP0|＝－35；tanα＝yx＝sinαcosα＝43.归纳升华由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的方法1．先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．2．在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sinα＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．类型2三角函数值符号的判断及应用[典例2](1)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)下列各式①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10°)；④cosπ其中符号为负的有()A．1个B．2个C．3个D．4个类型2三角函数值符号的判断及应用解析：(1)因为点P在第四象限所以有tanα0，cosα0，由此可判断角α终边第三象限．(2)－100°在第三象限，故sin(－100°)0；－220°在第二象限，故cos(－220°)0；－10∈－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)0，cosπ＝－10.答案：(1)C(2)D归纳升华1．对于用已知角α的终边所在象限来判断角α的相应函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来处理．2．由三角函数值的符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．[变式训练](1)若角θ同时满足sinθ＜0且tanθ＜0，则角θ的终边一定位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)判断下列各式的符号：①tan191°－cos191°；②sin2·cos3·tan4.(1)解析：由sinθ＜0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.由tanθ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D.答案：D(2)解：①因为191°是第三象限角，所以tan191°＞0，cos191°＜0.所以tan191°－cos191°＞0.②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角.所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.所以sin2·cos3·tan4＜0.类型3诱导公式一的简单应用[典例3]求下列各式的值：(1)cos253π＋tan－154π；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.解：(1)cos253π＋tan－154π＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.归纳升华1．利用诱导公式“一”可把任意角的三角函数化归为[0，2π)内的三角函数，可实现“负化正，大化小”的转化，体现了化归(转化)思想的应用．2．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值．[变式训练](1)sin(－660°)＝()A.12B.32C．－12D．－32(2)已知P(2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于()A.32B.23C．－32D．－23解析：(1)sin(－660°)＝sin(－2×360°＋60°)＝sin60°＝32.(2)tan(2π＋θ)＝tanθ＝－32.答案：(1)B(2)C类型4三角函数线的应用[典例4]在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.解：(1)作直线y＝32，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.图①图②(2)作直线x＝－12，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图②中的阴影部分所示)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为α2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z.归纳升华1．三角函数线的应用实质是数形结合思想的应用，作三角函数线的前提是作单位圆．2．解形如f(α)≤m或f(α)≥m(f(α)是sinα或cosα或tanα)的三角不等式时，在直角坐标系及单位圆中，标出满足f(α)＝m的两个角的终边，根据三角不等式，数形结合，找出α在0～2π内的取值，再加上k·2π(k∈Z)．3．利用三角函数线比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．[变式训练]利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin2π3与sin4π5；(2)tan2π3与tan4π5.解：如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin2π3=MP，tan2π3=AT;4π5的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′上x轴，垂足为M′，则sin4π5＝M′P′，tan4π5＝AT′，由图可见，MP＞M′P′＞0，AT＜AT′＜0，所以(1)sin2π3＞sin4π5，(2)tan2π3＜tan4π5.1．三角函数的定义．(1)可以用角的终边上任一点的坐标的“比值”来定义三角函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，P与原点的距离为r(r＝x2＋y20)，则sinα＝yr；cosα＝xr；tanα＝yx.这样定义三角函数，突出了与点P在角的终边上的位置无关，若令r＝1，则为单位圆中三角函数的定义．(2)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．(3)要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan