高二数学课件排列组合综合应用问题高二数学课件

引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。和应用问题。问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法,采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；④分为甲、乙、丙三组，每组4人；⑤分为三组，每组4人。例1：有12人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。答案①C125.C74.C33②C125.C74.C33③C125.C74.C33.A33④C124.C84.C44⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人。⑥C122.C105.C55A22⑤C124.C84.C44A33小结：练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个）种数的基础上乘以组数的全排列数。2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的，一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是平均分配。这样分配问题就解决了。结论：给出组名(非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶乘。例2：求不同的排法种数。①6男2女排成一排，2女相邻；②6男2女排成一排，2女不能相邻；③4男4女排成一排，同性者相邻；④4男4女排成一排，同性者不能相邻。分析：①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列，有A77.A22种“捆绑法”②把6男2女8人全排列，扣去2女“相邻”就是2女“不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.分离排列问题思考:对于不相邻的分离排列能否都用“排除法”?若改5男3女排成一列,3女不相邻,用排除法得对吗?22553388AAAA③4男4女排成一列，同性者相邻，把4男、4女捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所在地共有A22.A44.A44种。“捆绑法”④同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，女偶数位，或者对调。∴总排列数为A22.A44.A44种。例3：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打训练，两边都必须要1男1女，共有多少种不同的搭配方法。分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出2男2女，有C82.C72种；然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？男女----------男女①Aa-------------Bb②Ab-------------Ba③Bb-------------Aa④Ba-------------Ab显然：①与③；②与④在搭配上是一样的。所以只有2种方法，所以总的搭配方法有2C82.C72种。搭配问题先组后排1.高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？611524824848(ACAAAA种）（一）.有条件限制的排列问题例1：5个不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。①a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？②a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？③a,e排在一起多少种排法？④a,e不相邻有多少种排法？⑤a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？解：①（解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。由乘法共有A22.A33=12(种)排法。优先法二.排列组合应用问题解：②先从b,c,d三个选其中两个排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e排在中间三个位置有A33种，由乘法原理:共有A32.A33=36种排列.间接法：A55-4A44+2A33（种）排法。解：③捆绑法：a,e排在一起，可以将a,e看成一个整体,作为一个元素与其它3个元素全排列，有A44种；a,e两个元素的全排列数为A22种，由乘法原理共有A44.A22(种)排列。解：④排除法：即用5个元素的全排列数A55，扣除a,e排在一起排列数A44.A22，则a,e不相邻的排列总数为A55-A44.A22（种）插空法：即把a,e以外的三个元素全排列有A33种，再把a,e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42种，由乘法原理共有A33.A42(种)解:⑤a在e的左边(可不相邻)，这表明a,e只有一种顺序，但a,e间的排列数为A22，所以，可把5个元素全排列得排列数A55，然后再除以a,e的排列数A22。所以共有排列总数为A55/A22（种）注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数P33。例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。（二）有条件限制的组合问题：解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类：①2个偶数，3个奇数；②3个偶数，2个奇数；③4个偶数，1个奇数。所以共有子集个数为C42.C53+C43.C52+C44.C51=105解法2：从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件的有两类：①5个都是奇数；②4个奇数，1个偶数。所以共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105下面解法错在哪里?例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。至少有两个偶数，可先由4个偶数中取2个偶数，然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至少有2个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个)用“具体排”来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选4个偶数中的2，4，又C73中选剩下的3个元素不6，1，3组成集合{2，4，6，1，3，}；再看另一种选法：由C42中选4个偶数中的4，6，又C73中选剩下的3个元素不2，1，3组成集合{4，6，2，1，3}。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原因是分类不独立。（三）排列组合混合问题：例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。一共有多少种分配方案。解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选2名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。一共有多少种分配方案。解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种工作中任选3种（组合问题）分给6个男同学中的3人（排列问题）有C53.A63种,第二步,将余下的2个工作分给4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63.A42=14400(种).亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配方案有C52.A42.A63=14400(种).例4.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：①若取出6，则有种方法；②若不取6，则有种方法，211182772(A+CCC)1277CA根据分类计数原理，一共有+＝602种方法211182772(A+CCC)1277CA排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。“具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方法是“想透，排够不重不漏”是很有道理的。解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。典型例题1.4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少得1名，则不同的保送方案总数为（）。（A)36(B)24(C)12(D)62.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（）（A)20(B)19(C)10(D)693.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数有（）个。（A)(B)(C)(D)282414CCC282414ACC442814ACC282414AAAABB2343CA3252C1A练习3.15人按照下列要求分配，求不同的分法种数。(1)分为三组，每组5人,共有______________种不同的分法。（2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各4人，共有___________________种不同的分法。（3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组4人，共有___________________种不同的分法。4.8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都不站中间两位的排法有______________________种。5.某班有27名男生13女生，要各选3人组成班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有_____________________种不同的选法。3355510515/ACCC22334448715/AACCC334459615ACCC222226331237124446AACAACCAC221224213427ACCCC