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X1.平面的斜线和平面所成的角9.7直线和平面所成的角与二面角1.线线角——异面直线所成的角直线a,b是异面直线,经过空间任意一点o,分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。]20[,取值范围:一.复习pO自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影;这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。2.射影一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影;垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上。ACBO射影长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,(1)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长(2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长(3)垂线段比任何一条斜线段都短ABaaaabbbbAGFEDCBHHC与FG在平面ABCD上的射影分别是什么?FG与EA在平面ABCD上的射影分别是什么?BC与A点DC与BCHC与EF在平面ABCD上的射影分别是什么?DC与AB三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。OaAP三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。0BADAO是平面的斜线,A是斜足,OB是平面的垂线,B是垂足,AB是斜线在平面的射影,θ1是斜线与射影所成的角.AD是平面上任一过斜足A的直线θ1与θ的大小关系如何?θ2与θ的大小关系如何?θ1——∠OAB,简称斜射角(即线面角)θ2——∠BAD,简称射(射影)非(非射影)角θ——∠OAD,简称斜(线)非(非射影)角θ1二.新授1.线面角——平面的斜线和平面所成的角0BADCθ1最小角原理θ1与θ的大小关系如何?在Rt△OAB中,AOOB1sin在Rt△AOC中,AOOCsin∵OB<OC,∴sinθ1<sinθ∴θ1<θ斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角(即斜射角),叫做这条直线和这个平面所成的角。1一条直线垂直与平面,它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0的角。直线和平面所成角的范围是[0,90]。平面的斜线和平面所成的角例题例1.如图,OA是平面的斜线,OB⊥平面于B,AC是内不与AB重合的任意直线,∠OAB=,∠BAC=,∠OAC=,求证:cos=coscosOABC——线面角(斜射角),——射非角——斜非角变式:coscoscos。求线面角,,若004560斜非角的余弦等于线面角的余弦与射非角余弦的积练习5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗?4.已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍,求斜线和平面β所成的角。βABO如图,斜线段AB是其射影OB的两倍,求AB与平面β所成的角。如果两条直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗?3.AB与平面斜交,B为斜足,AO与平面垂直,O为垂足,BD是内的直线,∠ABD=60,∠OBD=45,求斜线AB和平面所成的角。例2.线段MN长6厘米,M到平面β的距离是1厘米,N到平面β的距离是4厘米,求MN与平面β所成角的余弦值。βMNM'N'βMNM'N'OO∠MOM'就是MN与β所成的角移出图移出图MNN'M'O614M'MON'N614
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