49第3章 静电场分析

3静电场分析3.1真空中静电场的基本方程3.2电位函数3.3泊松方程与拉普拉斯方程3.4唯一性定理3.5电介质中的高斯定律边界条件3.6电容3.7电场的能量3.8恒定电场的基本方程边值问题小结静电场的典型应用静电放电静电感应静电屏蔽/静电场的危害电场力的应用静电放电‰高压输电线附近的电晕‰高电压测量——球隙静电感应‰电容式传感器静电屏蔽‰实验室的屏蔽墙‰通信电缆及光缆的铠装电场力的应用‰显像管‰回旋加速器‰静电复印机）（）（）（rrrlρσρ;;1、电荷分布——2、电场强度电场力符合矢量叠加原理3.1真空中静电场的基本方程一、基本变量体电荷分布'dV)'(dqrρ=面电荷分布RsRdserrE∫='2'0')(41)(σπε线电荷分布RlRdlerrE∫='20')'(41)(τπε∫∫′′=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇′−=τττρπετρπεdRRrdRrE300)(411)(413、电位移矢量（Displacement）电介质在外电场作用下，体系中电荷的微小位移所引起。—D线从正的自由电荷发出—终止于负的自由电荷。EEEEEPEDεεεχεεχεε==+=+=+=00000)1(ree在各向同性介质中1.静电场的散度———高斯定律的微分形式体电荷产生的电场3'01()(')'4RdRτρτπε=∫Err二、真空中的高斯定律对上式等号两端取散度利用奇异函数的特性0()()rrρε∇⋅=E2.高斯定律的积分形式散度定理高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度源（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。∫∫=⋅∇τττρετdd01E∑∫∫==⋅=⋅∇niiSqdd101εττSEE∑∫==⋅niiSqd1DS三、静电场环路定律1.静电场旋度静电场是一个无旋场。0=×∇E2.静电场的环路定律0=⋅∫ldlE™静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。™电场力作功与路径无关,静电场是保守场™无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。四、静电场的基本方程⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇==×∇ρεDED0E00静电场的物理特性:1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，可以定义势能。2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。™为什么说它们是静电场的基本方程？™方程的两种形式之间存在什么联系、有何差异？™它们在应用方面有何不同？一.电位函数ϕ−∇=∴E1、电位的引出,0E=×∇∵3.2电位函数2）静电场电位是单位正电荷的势能。3）电位比电场易测量。1）矢量运算变标量运算。101()4NiiqrCRϕπε==+∑点电荷群'01()4vdqrCRϕπε=+∫连续分布电荷以点电荷为例推导电位：0()4qrCRϕπε=+:,,dqdVdSdlρστ′′′2、已知电荷分布，求电位：0001()41()41()4SlldrRdSrRdlrRτρτϕπεσϕπερϕπε′′′′=′=′=∫∫∫3、E与的微分关系ϕ−∇=E在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快的方向。00E=→=ϕ•？()0E=→=0ϕ•？()根据E与的微分关系，试问静电场中的某一点ϕϕ4、E与的积分关系llEdd⋅−∇=⋅ϕ∫∫⋅=−=−00PPPP0)P()P(lEddϕϕϕϕϕϕϕd]dzzdyydxx[−=∂∂+∂∂+∂∂−=设P0为参考点P(P)dϕ=⋅∫El0Pϕ5、电位参考点的选择原则•场中任意两点的电位差与参考点无关。•同一个物理问题，只能选取一个参考点。•选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且有意义•电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；•电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。二、电力线与等位线（面）0=×lEd电力线微分方程C)z,y,x(=ϕ等位线(面)方程•E线不能相交;•E线起始于正电荷，终止于负电荷;•E线愈密处，场强愈大;•E线与等位线（面）正交；在球坐标系中：011()4pqRrϕπε=−2200cos44rpqdrrθϕπεπε⋅==pe30(2cossin)4prqrθϕθθπε=−∇=+EeeθθErdEdrr=电力线微分方程1222(2cos)Rrdrdθ=+−2sinrDθ=解得Ｅ线方程为等位线方程（球坐标系）θcos'Cr=，Cr4cosp20=πεθ211cosdRrrθ=+dr20cos4qlErθπε−⎛⎞=∇⎜⎟⎝⎠例3.2求电荷面密度为σ，半径为R，均匀带电圆盘轴线上的电场强度。解：采用柱坐标。在园盘上取半径为r宽为dr的园环，其元电荷dq(=σ2πrdr)在轴线上P电所产生的电位22022042dqdrzrdrrzϕπεσε=+=+][222200220zzRzrrdrrRr−+=+=∫εεσεεσϕ圆盘在P点产生的电场强度220[][1]2rzzzrEeeerrzzeezRzφϕϕϕϕφϕσεε∂∂∂=−∇=−++∂∂∂∂=−=−∂+当R趋于无穷时zreE02εεσ=3.3泊松方程与拉普拉斯方程20ρϕϕε∇=∇⋅∇=−02=∇ϕ如果场中无电荷分布拉普拉斯方程例3.4.1半径为a的带电导体球，球体电位U（无限远＝0），求空间的电位函数及电场。对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），‰对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解‰利用边界条件求得积分常数，得到电位的解‰由得到电场强度E的分布。总结ϕ=−∇E作业：求带电Q的导体球（半径为a）产生的电势1、参考点的选择；2、对称性)0(+=rBrAϕ)(02ar=∇ϕ0,→∞→ϕrrAB=≡ϕ02rArn−=∂∂=∂∂ϕϕ∫∫==∂∂−==2202004aaAdSaAdSrQarπεεϕε04QAπε∴=)(40arrQ=πεϕ0()4Qraaϕϕπε==≤表面内,,∴3.4唯一性定理™已知边界上的电位函数，求场中的电位分布（第一类边值问题）™已知边界上的电位法向导数，求导体电位和场中电位分布（第二类）™已知某一部分边界电位和另一部分边界电位法向导数，求场的分布（混合）。,()在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的1()SfSϕ=2()SfSnϕ∂=∂3()()SfSnϕαϕβ∂+=∂003002201UxdUCUxdUBxdUA+−=+==ϕϕϕ、、、重要意义例：图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？正确答案：C可判断静电场问题的解的正确性：电场强度垂直于导体表面；•导体是等位体，导体表面为等位面；•导体内电场强度E为零，静电平衡；•电荷分布在导体表面，且•一导体的电位为零，则该导体不带电。（）•接地导体都不带电。（）•3.5电介质中的高斯定律边界条件1.静电场中导体的性质任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（•0εσ=E•电介质在E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；•电介质内部和表面产生极化电荷；•极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。无极性分子有极性分子V0VΔΔ∑→=pPlimC/m2电偶极矩体密度2.静电场中的电介质应用：微波加热微波炉加热原理一个电偶极子产生的电位：22001cos44RqdRRθϕπεπε⋅==pe根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：3'01()'4VRdVRϕπε′⋅=∫Przqd=pe式中')'(41'20dVRVR∫⋅=erPπεϕ211'()()RRRR=∇=−∇e∵'011(')'()'4VdVRϕπε=⋅∇∫Pr∴''001(')1(')''44VVdVdVRRϕπεπε′′−∇⋅=+∇⋅∫∫PrPr矢量恒等式：()uAuAAu′′′∇⋅=∇⋅+⋅∇''00()1()1''44nVSdVdSRRπεπε′′′′⋅−∇⋅=+∫∫PrePr散度定理pρ=−∇⋅P极化电荷体密度pnσ=⋅P极化电荷面密度')'(41')'(41)('0'0dSRdVRrSpVp∫∫+=∴rrσπερπεϕ•在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度0=pρ33''0()()1()''4fpfpVSRRdVdSRRρρσσπε⎡⎤++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫Er•电荷守恒0''''≡⋅+⋅∇−∫∫VSndSdVePP''0()()1()''4fpfpVSdVdSRRρρσσϕπε++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∫∫r•有电介质存在的场域中，任一点有讨论与引申3.电介质中的高斯定律a）高斯定律的微分形式0fρε∇⋅=E0fpρρε+∇⋅=E真空中电介质中定义电位移矢量0ε=+DEP则有ρ∇⋅=D电介质中高斯定律的微分形式pρ=−∇⋅P1()fρε∇⋅=−∇⋅0EP0()fερ∇⋅+=EPEEEEEPEDεεεχεεχεε==+=+=+=00000)1(ree•在各向同性介质中•D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷相对介电常数介电常数•D线由正自由电荷发出，终止于负自由电荷；•P线由负极化电荷发出，终止于正极化电荷。•E线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；'ED线E线P线QQ−+++++++-------0U0CCUrεQQ−+++++++-------电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？D通量只取决于高斯面内的自由电荷2）高斯定律的积分形式ρ∇⋅=DVVdVdVρ∇⋅=∫∫DSdq⋅=∑∫DS散度定理4.高斯定律的应用计算技巧：a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使其容易积分。•高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。a）分析给定场分布的对称性b）选择适当的闭合面作为高斯面。计算技巧⊥S//S球对称Ere24π=Φ柱对称rlEeπ2=Φ平面对称ESe=Φ上的电通量。设⊥SSΔSEeΔ=Φ的面积为，场强为E，则c)写出⊥Sd)计算S内的总电量∑内nSqEnSqSε=Δ∑内例：求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。τ解：电场分布特点：•D线皆垂直于导线，呈辐射状态；•等r处D值相等；取长为L，半径为r的封闭圆柱面为高斯面。LrL2D1τπ=⋅12rrτπ=De1102rτεπε==r0DEe123112233SSSSdddd⋅=⋅+⋅+⋅∫∫∫∫DSDSDSDSLτ=二、静电场的边值问题以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面0L→Δσ=−n1n2DD分界面两侧的D的法向分量不连续。当时，D的法向分量连续。0=1、电位移矢量D的衔接条件σSSDSDn2n1Δ=Δ+Δ−σ则有2、电场强度E的衔接条件以点P作为观察点，作一小矩形回路0L→Δ21110ttElElΔ−Δ=t1t2EE=分界面两侧E的切向分量连续。0ld⋅=∫El212112lim0dϕϕ→−=⋅=∫El21ϕϕ=表明:在介质分界面上，电位是连续的。其间距为d，0d→3、用电位函数表示分界面上的衔接条件nEDnEDnnnn∂∂−==∂∂−==2222211111ϕεεϕεε∵1212nnϕϕεεσ∂∂∴−=∂∂表明:一般情况下,电位的导数不连续ϕ在交界面上不存在时，E、D满足折射定律。σ22211121coscosαεαεEEDDnn=→=221121sinsinααEEEEtt=→=2121tantanεεαα=折射定律表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D就等于该点的自由电荷密度。σ0EDt2n2=σ=⎩⎨⎧⇒==−t2t1n1n2EEDDσ导体与电介质分界面讨论与引申4、边值问题求解的一般过程：1）选取坐标系：尽量要坐标面与等位面重合或平行。2）写出方程的通解，如果有几种媒质，要分区写出通解。3）根据边界条件确定通解中的积分常数，给出特解。4）如果求解区域至无穷远，无穷远也是边界之一。解：忽略边缘效应2011221Uddεεε=+xEe1021221Uddεεε=+xEe1121xeσε==EE01122qSSεε=+xe∴2211EEεε=02211UdEdE=+∵02211qSS=+σσ2211εσεσ=∵例：如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知和,图(a)已知极板间电压U0,图(b)已知极板上