数字信号处理证明题集

南理工专接本《数字信号处理》课程复习：证明题1．设)(kX表示长度为N的有限长序列)(nx的DFT。（1）证明如果)(nx满足关系式)1()(nNxnx−−−=则0)0(=X（2）证明当N为偶数时，如果)1()(nNxnx−−=则0)2(=NX解（1）∑∑∑∑∑−=−=−=−=−=−−−====121201010010)1()()()()0()()(NNnNnNnNnNNnnkNnNxnxnxWnxXWnxkX令mnN=−−1∑∑−=−=−=012120)()()0(NnNnmxnxX显然可得0)0(=X（2）∑∑−=−=−==1010)1)(()()2(NnnNnjknxenxNXπ（将n分为奇数和偶数两部分表示）∑∑−=+−=−++−=120121202)1)(12()1)(2(NrrNrrrxrx∑∑−=−=+−=120120)12()2(NrNrrxrx()1221)12()21(120120+=−−+−−−=∑∑−=−=krNrxrNxNrNr令∑∑−==+−+=12002)12()12(NrNkrxrx显然可得0)2(=NX2．试证N点序列()nx的离散傅立叶变换()kX满足Parseval恒等式210210][1][∑∑−=−==NmNkkXNnx证：∑∑−=−==10210][*][1][1NmNmmXmXNmXN21010*1010*10*10][][][][1][)][]([1∑∑∑∑∑∑−=−=−=−−=−=−=====NkNkNmmkNNkNmNkmkNkxkxkxWmXNkxWkxmXN5．)()(nXkx和是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：)()(1nxkXN−⇔证明略。6．)(nx长为N的有限长序列，)(),(nxnxoe分别为)(nx的圆周共轭偶部及奇部，也即)](*)([21)(*)(nNxnxnNxnxee−+=−=)](*)([21)(*)(nNxnxnNxnxoo−−=−−=证明：)](Im[)]([)](Re[)]([KXjnxDFTKXnxDFToe==证]))((*)([21)](*)([21)(*)(NeenxnxnNxnxnNxnx−+=−+=−=)](Re[)](*)([21kXkXkX=+↔]))((*)([21)](*)([21)(*)(NoonxnxnNxnxnNxnx−−=−−=−−=)](Im[)](*)([21kXjkXkX=−↔7．若NkNxnXDFTkXnxDFT))(()]([),()]([−==求证证：∑−=−=10)(1)(NkknNWkXNnx（1）∑−==10)()(NkknNWnxkX（2）由（2）∑−==10)()(NkknNWnxkX，将nk与互换，则有∑−==10)()(NnknNWkxnX（这应该是反变换公式）∑−==10)(1NkknNWkNxN（用kk代替′−，且求和取主值区）∑−=′−′−=10)(1NknkNWkNxN与（1）比较所以NkNxnX))(()(−↔8．若[])()(kXIDFTnx=，求证[])())((1)(nRnXNkxIDFTNN−=。证：[]∑−=−=10)(~1)(~NkknNWkxNkxIDFS∑∑∑∑−=−=−−−=−−=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1010)(21010)(~1)(~11NrNrnrkNNkknNNrrkNWrXNWWrXNN而NlNnr=−−=∑−=−−10)(NknrkNW（l为整数）0lNnr≠−−所以[])(~1)(~1)(~2nXNNnlNXNkxIDFS−=⋅−−=于是[])())((1)()(~1)(nRnXNnRnXNkxIDFTNNN−=−=9．令)(kX表示N点序列)(nx的N点DFT，试证明：（a）如果)(nx满足关系式)1()(nNxnx−−−=，则0)0(=X。（b）当N为偶数时，如果)1()(nNxnx−−=，则0)2(=NX。证：∑−==10)()(NnnkNWnxkX)1,...,1,0(−=Nk（a）∑−==10)()0(NnnxXN为偶数：∑∑−=−=−−+=120120)1()()0(NnNnnNxnxX[][]0)()()1()(120120=−=−−+=∑∑−=−=NnNnnxnxnNxnxN为奇数：)21()1()()0(12101210−+−−+=∑∑−−=−−=NxnNxnxXNnNn[][])21(0)21()()()21()1()()21(12101210−=+−=−+−=−−++−=∑∑−−=−−=NxNxnxnxNxnNxnxNxNnNn而)(nx中间的一项应当满足：)21()211()21(−−=−−−−=−nxNNxNx因此必然有0)21(=−nX这就是说，当N为奇数时，也有0)0(=X。（b）当N为偶数：∑∑−=−=−==10102)1)(()()2(NnnNnNnNnxWnxNX∑∑∑∑−=−−−=−=−−−=−−+−=−−−+−=12011201201120)1)(()1()1)(()1)(1()1)((NnnNNnnNnnNNnnnxnxnNxnx当N为偶数时，1−N为奇数，故1)1(1−=−−N；又由于,)1()1(nn−=−−故有0)1)(()1)(()2(120120=−−−=∑∑−=−=NnnNnnnxnxNX10．设[])()(kXnxDFT=，求证[])()(nNNxkXDFT−=。【解】因为nkNnNkNWW=−−)(根据题意∑−=−=10)(1)(NknkNWkXNnx∑−=−−=−10)()()(NknNkNWkXnNNx因为nkNnNkNWW=−−)(所以[])()()(10kXDFTWkXnNNxNkknN==−∑−=−11．证明：若)(nx为实偶对称，即)()(nNxnx−=，则)(kX也为实偶对称。【解】根据题意∑−==10)()(NnnkNWnxkX的周期性质再利用nkNNnknNWWnNx∑−=−−−10))(()(∑−=−−−10))(()(NnkNnNNWnNx下面我们令mnN=−进行变量代换，则∑=−=1)()()(NmmkNNWmxkX又因为)(nx为实偶对称,所以0)()0(==Nxx，所以0)()(0)()0()()0(kNNmkNNkNNWxWNxWx−−−+=可将上式写为0)()(1)0()()(kNNmkNNNmWxWmxkX−−=+=∑∑=−=NmmkNNWmx0)()(NkNNNmmkNNWNxWmx)(0)()()(−=−−=∑∑−=−=10)()(NmmkNNWmx所以)()()(10)(kNXWmxkXNmmkNN−==∑−=−即证。注意：若)(nx为奇对称，即)()(nNxnx−−=，则)(kX为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。