第十讲-几何轨迹与尺规作图

几何轨迹与尺规作图一、轨迹的定义•在几何中，把具有某性质的点P组成的集合叫做具有这种性质的点的轨迹•L为适合条件φ的点的轨迹，F为某图形，则（1）适合条件φ的任一点都在图形F上；（完备性或充分性）（2）图形F上的任一点都适合条件φ；（纯粹性或必要性）则图形F是适合条件φ的点的轨迹。•虽然轨迹和几何图形都是点集，但两者是有区别的，一般来说，图形是知其形而不知其性，轨迹是知其性而不知其形。我们研究轨迹问题，就是要探究适合一定条件的点的集合形成什么样的图形，使形和性得到完美统一。二、轨迹命题的三种类型•Ⅰ、命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、大小和位置；•Ⅱ、命题结论中明确说明了轨迹图形的形状，但大小和位置不全；•Ⅲ、命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对形状、大小和位置没有说明；•前两种为轨迹定理，后一种为轨迹问题例：•距两点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线；•距两点等远的点的轨迹是一条直线；•求距两点等远的点的轨迹三、基本轨迹定理•1、和一个定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆；•2、和两个定点的距离相等的点的轨迹是连结这两个定点的线段的中垂线；•3、和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于已知直线且位于此直线两侧并和这直线的距离等于定长的两条平行线；•4、与两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线距离相等的一条平行线；•5、与相交两直线距离相等的点的轨迹，是分别平分两已知直线交角的互相垂直的两条直线；•6、对已知线段的视角等于定角α的点的轨迹,是以已知线段为弦,所含圆周角等于α的两段弓形弧;四、轨迹命题举例•例1设一点到矩形的一双对顶的距离之和等于到另一双对顶的距离之和，则其轨迹为矩形的两条对称轴。假设ABCD是矩形，l和l’是其对称轴，p是适合条件PA+PC=PB+PD的点求证：p点的轨迹是直线l和l’•例2设一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的同心圆的并。假设：点P与定圆O（r）的距离PA=半径r求证：点P的轨迹是点O和圆O（2r）•例3给定直角XOY,一条定长（记为a）的线段AB两端在角的两边上滑动，则AB中点P的轨迹是以O为中心，以a/2为半径的圆被角的两边所截的弧QR•例4和两定点距离之比等于定比(不为1)的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆（阿波罗尼奥斯圆）A,B为定点，MA/MB=m定数•例5到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（可能退缩为一点）•例6到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线•例7从已知半圆直径AB延长线上任一点C作切线CT和∠ACT的平分线，从圆心O作这平分角线的垂线，求垂足M的轨迹•例8定圆O内有互垂直径AA‘和BB’，直径端点A‘和圆上任一点P的连线交直线BB’于点Q，在P作圆的切线PR，过Q作BB‘的垂线QR，求交点R的轨迹•例9BC是给定等腰三角形ABC的底边，求合于条件∠APB=∠APC的点P的轨迹尺规作图•假设给了一些条件，而设法求作具备这些条件的图形，这便是作图问题。完成作图以后，便可断言具备某些条件的图形存在。或在什么情况下这样的图形存在，因而使言之有物。这样，解几何作图问题，在某种意义上说，就是存在问题的证明。•⑴完成一个作图题，在学生头脑里能把个别的几何事实具体化起来，将注意力从字面上的几何命题转到这命题所含的现实几何关系上来。•⑵几何作图可以提供题材，把所学的命题用来解决某些具体问题，使学生学会学以致用。•⑶几何作图的学习给制图学提供理论基础，它在实践上的意义是不可忽视的。•⑷在解作图题过程中，要运用一系列相当复杂的逻辑思维。•在传统的几何作图中，尺规作图是指没有刻度的直尺和圆规两件工具，并用有限次步骤作出合乎预先约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。所谓完成了一个尺规作图，就是说能把问题归结为有限次的如下几个认可的简单作图：•⑴通过两个已知点可作一条直线；•⑵已知圆心和半径可作一个圆；•⑶若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。•解作图题的步骤一般分为：写出已知（详细写出题设条件，并用相应符号或图形表示）与求作（说明要做的图形是什么，以及该图形应具有的题设条件），进行分析（寻求作图线索），写出作法，证明，并进行讨论。•【练习1】给定不共线三点A、B、C，求过C作一直线l使距AB等远。CBAlCBAlMCBA•【练习2】求作一三角形，已知其两边及其中一边的对角。等分圆周•【例题】五等分圆周。•作法：在圆内作互相垂直的直径PQ和AS，平分OQ于M；以M为中心以MA为半径作弧，交OP于点N。又以A为中心以AN为半径作弧，交圆于B，则AB为内接正五边形的一边。BNMSAQPOJK52522102102222222125aABaRaABaRRMOMAMOMNONRPNOAONANABBNMSAQPOJK•化圆为方•三等分角•立方倍积由于尺规作图在理论上的限制，使得希腊几何留下两项任务有待解决：第一项是特殊任务，这就是三大几何作图问题，它引起人们极大的兴趣，虽然它的答案是否定的，但至今还使一些人着迷。第二项任务则具有普遍意义，即源于古希腊人通过作图来证明数学对象（尤其是几何对象）的存在性，然而仅用尺规显然限制过严，这就需要突破狭隘的几何方法的束缚，放宽存在性问题的准则。•两千多年来，几十代人为三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思，阿拉伯人的学识，文艺复兴时期大师们的睿智，都曾倾注于此，但在尺规作图的严格约束下，均以失败告终。•于是人们开始怀疑它们的可解性，转向不可作方面的讨论。这种考虑问题的“着眼点”的改变，在数学发展中是非常重要的，然而，就三大问题而言，在没有给出尺规作图可能或不可能的判别准则之前，要得到关于三大问题不可作的严格证明是不可能的，这种明确的准则，是借助于代数方法完成的，事实证明，仅仅依靠欧氏几何本身是无能为力的。直角等于钝角？矩形ABCD，FA＝BA，R、N分别是中点。可证：角CDA＝角FAD证：RO、MO各是垂直平分线DO＝AO，CO＝FO，FA＝BA，BA＝CD，所以FA＝CD，角ODC＝角OAF，但角ODA＝角OAD，所以角CDA＝角FADFAOCDOMQCDBARLFNO问题在于作图不严密MQCDBARLFNO•作图题：在定圆内作圆内接正八边形。