空间几何体的结构,三视图和直观图

第八章立体几何与空间向量§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析易错警示系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习知识梳理1答案1.空间几何体的结构特征(1)多面体①棱柱的侧棱都，上、下底面是的多边形.②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是多边形.平行且相等全等相似答案(2)旋转体①圆柱可以由绕其一边所在直线旋转得到.②圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到.③圆台可以由直角梯形绕所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.④球可以由半圆或圆绕所在直线旋转得到.矩形直角边直角腰直径答案2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是，三视图包括、、3.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用画法，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴、y′轴所在平面.正投影正视图侧视图俯视图.完全相同的斜二测45°(或135°)垂直答案(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中变为.平行于不变原来的一半4.常用结论(1)常见旋转体的三视图①球的三视图都是半径相等的圆.②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.()(6)菱形的直观图仍是菱形.()××××××思考辨析答案考点自测2解析答案12345D1.(教材改编)下列说法正确的是()A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变.解析答案123452.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于()A.34B.41C.52D.215解析答案123453.(2015·广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5解析当n＝3时显然成立，故排除C，D；由正四面体的四个顶点两两距离相等，得n＝4时成立，故选B.B解析答案123454.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.48cm3B.98cm3C.88cm3D.78cm3解析答案12345返回5.正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________.解析画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图).D′为O′A′的中点.易知D′B′＝12DB(D为OA的中点)，∴S△O′A′B′＝12×22S△OAB＝24×34a2＝616a2.616a2题型分类深度剖析空间几何体的结构特征题型一解析答案例1(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥面和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球.其中正确结论的序号是________.解析答案(3)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是________.解析答案思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.思维升华跟踪训练1解析答案给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是________.空间几何体的三视图题型二解析答案命题点1由空间几何体的三视图还原出几何体的形状例2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.D解析答案命题点2由空间几何体的直观图判断三视图例3一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()命题点3由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图例4已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上).解析答案思维升华跟踪训练2解析答案(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示，则这个几何体是三棱柱，故选B.B解析答案(2)在如下图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②空间几何体的直观图题型三解析答案例5(1)右图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么()A.最长的是AB，最短的是ACB.最长的是AC，最短的是ABC.最长的是AB，最短的是ADD.最长的是AD，最短的是AC解析答案(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()思维升华跟踪训练3解析答案如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形返回易错警示系列易错警示系列11.三视图识图中的易误辨析易误分析解析答案返回温馨提醒典例将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()思想方法感悟提高方法与技巧1.三视图的画法特征“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.2.对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图.3.由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体.失误与防范返回画三视图应注意的问题(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同.练出高分123456789101112131415解析答案1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等B解析根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.解析答案2.如图所示的几何体是棱柱的有()CA.②③⑤B.③④⑤C.③⑤D.①③解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱，故选C.123456789101112131415解析答案3.(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.2C.3D.2123456789101112131415解析答案4.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()123456789101112131415解析答案5.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()123456789101112131415解析答案6.某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A.①③B.①④C.②④D.①②③④123456789101112131415解析答案7.若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为________.123456789101112131415解析答案8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为__.解析如题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是a2，故面积的比值为1.112123456789101112131415解析答案9.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是________.123456789101112131415解析答案10.如图是一个几何体的正视图和俯视图.(1)试判断该几何体是什么几何体；解由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.123456789101112131415解析答案(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积.解该几何体的侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝3a，AD是正六棱锥的高，则AD＝3a，所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝12×3a×3a＝32a2.123456789101112131415解析答案11.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是()123456789101112131415解析答案12.已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为___________________.12345678910111213141513.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________(写出所有正确的命题的编号).123456789101112131415解析答案①当0CQ12时，S为四边形；②当CQ＝12时，S为等腰梯形；③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13；④当34CQ1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为62.123456789101112131415解析